IMO 1961 (anche se troppo facile)

[Jacobi]

Risolvere l'equazione ( dove n e' un intero positivo ): $ cos^nx-sen^nx=1 $

[edriv]

x=0 è una soluzione per ogni n. D'ora in poi supponiamo x>0.
Se n è pari, otteniamo $ \displaystyle 1+\sen ^n x = \cos ^n x \le 1 $, quindi $ \displaystyle \sen^nx \le 0 $ che implica essendo n pari $ \displaystyle \sen x = 0 $, x non è 0, quindi è pi greco, e questo ci da effettivamente una soluzione.

Se n è dispari, otteniamo subito che $ \displaystyle \cos x \ge 0 $ e $ \displaystyle \sin x \le 0 $. Ponendo y = -x abbiamo quindi $ \displaystyle \cos ^ny + \sin ^n y = 1 $ con cosy, siny entrambi non negativi. Se cosy=0, siny=1 e se siny=0 allora cosy=1, che sono soluzioni, quindi supponiamo entrambi positivi.
Ponendo $ \displaystyle a=\cos ^2 y, b = \sin ^2 y $ abbiamo a,b positivi con a+b=1.
Se n > 2 allora $ \displaystyle \cos ^n y + \sin ^n y = a^{\frac n2} + b^{\frac n2} < a+b = 1 $ perchè x^a <x>1. Quindi no soluzioni.
Se n=1, stessa cosa: $ \displaystyle \cos y + \sin y = a^{\frac 12} + b^{\frac 12} > a+b = 1 $ perchè x^a > x in (0,1) se a < 1.

Riepilogando, le soluzioni sono:
n pari, x=0, x=pi
n dispari, x=0, x=-pi/2.

[czap]

trovare $ n \in \mathbb{N} : ( cos^n x - sin^n x = 1 )~\forall x \in [0,2\pi] $

[salva90]

trovare $ n \in \mathbb{N} : ( cos^n x - sin^n x = 1 )~\forall x \in [0,2\pi] $

perdonami ma non capisco...
prendi x=45° e ottieni 0=1...

[Jacobi]

Riepilogando, le soluzioni sono:
n pari, x=0, x=pi
n dispari, x=0, x=-pi/2.

ACHTUNG: nn c'era scritto $ x \in [0, 2\pi] $ ( cmq basta aggiungere $ 2k\pi $ alla tua soluzione, che cmq e' esatta )

[czap]

trovare $ n \in \mathbb{N} : ( cos^n x - sin^n x = 1 )~\forall x \in [0,2\pi] $

perdonami ma non capisco...
prendi x=45° e ottieni 0=1...

era quello che intendevo: nel problema originario si chiede di risolvere l'equazione nell'incognita $ x $, fissato un $ n \in \mathbb{N}^+ $

invece, come hai fatto notare, l'espressione $ ( cos^n x - sin^n x = 1 ) $ è falsa $ \forall n \in \mathbb{N}^+ $ quando $ x = \pi/4 $

la soluzione (a mio avviso corretta) illustrata da edriv, riguarda la famiglia di equazioni nell'incognita $ x $, al variare del parametro $ n $ come indicato; altrimenti, senza sapere se $ n $ è pari o dispari, l'equazione proposta non è completamente risolvibile in $ x $ (cioè l'unico valore di $ x $ che sicuramente soddisfa l'equazione data $ \forall n \in \mathbb{N}^+ $ è esattamente ed esclusivamente 0)

[czap]

... D'ora in poi supponiamo x>0.
Riepilogando, le soluzioni sono:
...
n dispari, x=0, x=-pi/2.

se posso permettemi un piccolissimo appunto, le due affermazioni "x > 0" e "x = - pi/2" sono in contraddizione reciproca: basta modificare l'ipotesi inziale in " x <> 0" e tutto funziona ! (se sono stato troppo pignolo, chiedo venia !)