Combinazione lineare di matrici è invertibile

[edriv]

Prometto che è l'ultimo di algebra lineare per oggi!

Siano $ \displaystyle A_1,A_2,\ldots,A_m $ delle matrici su un campo F con infiniti elementi. Sia K un'estensione di F.

Si sa che esistono $ \displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_m \in K $ tali che $ \displaystyle k_1A_1 + \ldots + k_mA_m $ è invertibile.
Dimostrare che esistono $ \displaystyle f_1,f_2,\ldots,f_m \in F $ tali che $ \displaystyle f_1A_1 + \ldots + f_mA_m $ è invertibile.

Edit: azz mi sono fregato da solo... oggi è già domani Bon meglio che domani (cioè oggi) devo preparare le valigie!

[Igor]

Abbiamo che

$ g=det(x_1A_1+\ldots + x_nA_n) \in F[x_1,\ldots,x_n] $

Consideriamo ora $ \displaystyle g $ come un elemento di $ K[x_1,\ldots,x_n] $

Per ipotesi è $ g\neq 0 $

Ora, se $ \forall f_1,\ldots,f_n \in F $ la matrice

$ f_1A_1+\ldots + f_nA_n $

fosse singolare,avremmo che $ \forall f_1,\ldots,f_n \in F $

$ g(f_1,f_2,\ldots ,f_n)=0 $

Ma questo,visto che F ha infiniti elementi,implica $ g=0 $,assurdo da cui la tesi.