D'accordo non ho esperienza però...

[edgar89]

dunque, è uno dei primi esercizi sugli interi che provo a risolvere e quindi non so se è giusto e/o completo...
è uno dei vecchi esercizi dei test d'ammissione al S.Anna di pisa.

Determinare tutte le coppie (m,n) di interi positivi per cui

(m^(n^5-n))^(1/60)

risulta a sua volta un intero.

[devo ancora imparare a scrivere come linguaggio matematico...]

allora io ho ragionato così:

affinchè quella roba lì sia intera è necessario che la quantità sotto radice possa essere scritta come:

m^60k

ossia n^5-n deve essere uguale ad un multiplo di 60

n^5-n=60k

n(n^4-1)=60k

n(n^2-1)(n^2+1)=60k

n(n-1)(n+1)(n^2+1)=60k

ora...
i primi tre fattori sono tre numeri consecutivi quindi sono divisibili per 6

quindi basta che

n^2+1 = 10h
affichè questo avvenga deve essere:

a) n^2+1 un numero pari
b) l'ultima cifra di n^2+1 uno zero

la a) mi dice che n è dispari
la b) mi dice che l'ultima cifra di n^2 è 9 da cui:

unità(n) | unità(n^2)

3 | 9
5 | 5
7 | 9
9 | 1

per cui le coppie cercate sono del tipo (m,xy3) o (m,xy7) dove xy sono le cifre prima del 3 o del 7.

che ne dite?

[pic88]

affinchè quella roba lì sia intera è necessario che la quantità sotto radice possa essere scritta come:

m^60k

ossia n^5-n deve essere uguale ad un multiplo di 60

Direi che con $ {m=4} $ e $ {n=2} $ vanno bene, anche se 2^5-2=30 non è multiplo di 60..

[edgar89]

affinchè quella roba lì sia intera è necessario che la quantità sotto radice possa essere scritta come:

m^60k

ossia n^5-n deve essere uguale ad un multiplo di 60

Direi che con $ {m=4} $ e $ {n=2} $ vanno bene, anche se 2^5-2=30 non è multiplo di 60..

beh se scriviamo 4=2^2 la cosa si riduce al caso che avevo detto io cioè 2^60

tuttavia concordo sul fatto che a quel punto ad essere multiplo di 60 è 2*(n^5-n) e non n^5-n....

quindi chiedo...
suggerimenti?

[pic88]

Continuo... deve essere
$ \displaystyle m^{n^5-n}=a^{60} $, per qualche a intero.

Quindi... scriviamo tutte le soluzioni.

Se m= k^60 per qualche k intero, van bene tutti gli n. $ (k^{60},n) $

Se m= k^30, van bene gli n tali che $ 2|n^5-n $, ossia tutti gli n (non è difficile vedere che n^5-n è sempre pari... $ (k^{30},n) $

(a questo punto le seconde coppie trovate comprendono le prime)
EDIT:
se m=k^20, allora 3|n^5-n ossia van bene tutti gli n.. non ho voglia di finirlo ma dovrebbe essere chiaro

[edgar89]

Continuo... deve essere
$ \displaystyle m^{n^5-n}=a^{60} $, per qualche a intero.

Quindi... scriviamo tutte le soluzioni.

Se m= k^60 per qualche k intero, van bene tutti gli n. $ (k^{60},n) $

Se m= k^30, van bene gli n tali che $ 2|n^5-n $, ossia tutti gli n (non è difficile vedere che n^5-n è sempre pari... $ (k^{30},n) $

(a questo punto le seconde coppie trovate comprendono le prime)

se m=k^20, allora 3|n^5-n ossia n multiplo di 3 oppure n-1 multiplo di tre.. non ho voglia di finirlo ma dovrebbe essere chiaro

beh... il caso di 3|n^5-n è ancora per tutti gli n... n^5-n come avevo già detto è divisibile sempre per 6... (e quindi per 2 e per 3) essendo (n-1)n(n+1)(n^2+1)=n^5-n

oppure no?

[pic88]

giusto

[edgar89]

giusto

bene (mi sento realizzato...)

quindi se ho cpaito il procedimento da seguire...
dovrei distinguere il caso in cui
m=k^h
dove h varia tra i divisori di 60?

[Juggler]

a me viene vero per tutti gli m e n a patto che se n=2(mod 4) m è un quadrato perfetto

[ummagumma]

cerchiamo di formalizzare il tutto, è più facile di quanto non sembri

considero la divisibilità di n^5 - n per 60;

n^5 - n = n(n-1)(n+1)(n^2+1) = a

si vede facilmente che a è pari

considero n=0 mod 4
tre fattori di a sono consecutivi, dunque a è divisibile per 3
se n=0 mod 5 allora a è divisibile per 5, se n=1 mod 5 allora n-1 divisibile per 5, se n=2 mod 5 allora n^2+1 è divisibile per 5, se n=3 mod 5 allora n^2 +1 divisibile per 5, se n= 4 mod 5 allora n+1 divisibile per 5. Da cio:
a divisibile per 3,4,5 quindi per 60
se n=0mod4 allora per tutti gli m il numero è intero.

considero n=2 mod 2
allora a è divisibile per 2,3,5(ripetendo tutto il casino di prima )
da cui il numero è intero se e soltanto se m è un quadrato perfetto

per n=1 mod 4 o n=3 mod 4: stesse considerazioni, soltanto concentrandosi su n-1 o n+1

mi scuso per il non latex