Una dimostrazione elementare dell'irrazionalità di pi-greco

[memedesimo]

Questa stupenda dimostrazione non è mia, bensì di una persona che chiameremo "il fisico anonimo" e che vorrete certamente venerare come un dio, appena avrete finito di leggere la

dimostrazione:

1. Consideriamo l'equazione $ \sin {(x)} = x-x^3/3!+x^5/5!-...=0 $ (che sarebbe la serie di taylor per il seno)

2. In un polinomio a coefficienti interi se $ x=p/q $ è radice$ q $divide il coefficiente del termine di grado massimo (vale solo per polinomi con un numero finito di monomi, ma decido arbitrariamente di fregarmene)

3.PASSAGGIO CHIAVE: moltiplico il polinomio del punto 1 per infinito fattoriale. Il coefficiente del termine di grado massimo è adesso 1 (perchè prima aveva a denominatore infinito fattoriale), quindi $ q=1 $ per il punto 2.

4. Se $ \pi $ fosse razionale, essendo radice del polinomio, si avrebbe $ \pi =p/q= p/1=p= assurdo $, perchè sappiamo che $ \pi $ è maggiore di $ 3 $ e minore di $ 4 $. Quindi $ \pi $ è irrazionale.



Aneddoto: quando questa magnifica dimostrazione è stata concepita ed enunciata per la primissima volta, Nardin sentendo "ora moltiplichiamo tutto per infinito fattoriale" ha fatto due occhi talmente grossi da far invidia a un pesce palla, e col mento avrebbe potuto tranquillamente fare da spalaneve

[pic88]

Sul momento credevo che avessi postato questo link, presente sul forum di mathlinks...

Comunque operazioni molto più innocue (ma comunque non lecite, perché ispirate dalle regole relatove ai polinomi - finiti, s'intende) della tua "moltiplico per infinito fattoriale" possono portare alla dimostrazione della forumla

$ \displaystyle \sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}6 $

[EUCLA]

moltiplico il polinomio del punto 1 per infinito fattoriale

giusto per questo è stato definito il fisico, e non il matematico anonimo

denis, hai tutta la mia comprensione

[killing_buddha]

moltiplico il polinomio del punto 1 per infinito fattoriale

giusto per questo è stato definito il fisico, e non il matematico anonimo

denis, hai tutta la mia comprensione

Non siamo tutti così, vi prego di non fare di tutti i fisici un fascio.
Infinito fattoriale... LOL bella come idea

Comunque dove la trovo una demo più "innocua" del fatto che \pi non è razionale?

[EUCLA]

qui!

e tanto meglio se non fai parte dei fisici pezzenti

anche se andrebbe data la definizione di pezzenza...insomma mi hai capito, no?

[mitchan88]

Mmmh i polinomi di Taylor sono proprio roba elementare... comuqnue complimenti, più pezzente di cosi non si può!! XD

[Bolzo88]

Ok non sarà elementare ma non puoi pretendere che uno sporchissimo come memedesimo sappia anche cosa vuol dire elementare.

In ogni caso, a scanso di equivoci, nessuno pensi che io, benchè sporco fisico pezzente, sia l'autore di questa splendida dimostrazione: la mia sporcizia non arriva a tali limiti.

[killing_buddha]

quanta merda gli state buttando, povero eglimedesimo? Rilancio io una volta tanto: come si dimostra che $ ~e $ è irrazionale (non correi confondere irrazionale e trascendente, e wikpedia non ho voglia di aprirla... datemi vi prego il beneficio dell'innioranza.)
E come si dimostra se un generico numero è irrazionale o meno? Ad es. tutte le radici di numeri che non sono quadrati perfetti sono irrazionali. Come si dimostra?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

tutte le radici di numeri che non sono quadrati perfetti sono irrazionali. Come si dimostra?

probabilmente basta dimostrare per assurdo che ogni radice di un numero primo è irrazionale così:
supponiamo per assurdo che sia razionale, allora
$ \sqrt{p}=\frac{a}{b} \Longleftrightarrow p \cdot b^2=a^2 $

ma allora a sinistra abbiamo di divisori pari e a destra dispari, assurdo

[killing_buddha]

Si ma ad esempio 10 non è primo ma

$ \sqrt{10} \simeq 3,1622776601683793319988935444327 $

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

si ma è comunque il prodotto di radici di due primi..

[EvaristeG]

Anche se ormai non dovrebbe star più in birreria, diciamo qualcosa... cmq se volete proseguire il discorso un po' più seriamente, spezzo e traslo gli ultimi messaggi in MNE, dove magari si può dire qualcosa di più.

Teo: Sia $ m $ un numero intero, per cui esista un primo $ p $ tale che $ p\mid m $ ma $ p^2\not\vert m $; allora $ \sqrt{m} $ è irrazionale.
Dim: Se $ \sqrt{m}=\dfrac{a}{b} $ con (a,b)=1, allora $ mb^2=a^2 $ e dunque $ p\mid a^2 $, ma allora $ p^2\mid a^2=mb^2 $ per cui $ p\mid b^2 $ (in quanto m ha un solo fattore p), ma allora (a,b)|p. Assurdo.

In generale,
Teo: Sia $ m $ un numero intero per cui esista un primo $ p $ tale che $ p\mid m $ ma $ p^n\not\vert m $. Allora $ \sqrt[n]{m} $ è irrazionale.
Dim: Come sopra, solo con potenze n-esime.

Ma più in generale
Teo: Sia $ p(x) $ un polinomio a coefficienti razionali irriducibile (ovvero senza fattori a coefficienti razionali e di grado minore); allora le sue radici non sono razionali.
Dim: Ovvia, no?

Altrimenti
Teo: Sia $ p(x) $ un polinomio monico a coefficienti interi; allora le sue radici sono intere o irrazionali.
Dim: Se le radici sono razionali, il loro denominatore deve dividere il coefficiente direttore, che è 1, dunque sono interi.

Ed infine, per quel che riguarda $ e $, possiamo dire che
Prop: La serie
$ 1+1+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+\ldots $
converge; la sua somma si indica con $ e $.
Dim: Diciamo $ s_n=\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!}} $; allora si ha $ s_k\leq s_{k+1} $ e $ s_n\leq 3 $. La prima è ovvia in quanto ogni termine è positivo; la seconda segue dal fatto che $ k!=k\cdot(k-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1\geq 2\cdot2\cdot\ldots\cdot2\cdot1=2^{k-1} $ che implica $ s_n\leq 1+\displaystyle{\sum_{k=1}^n\frac{1}{2^{k-1}}\leq1+2=3 $. Dunque la successione delle somme parziali è limitata e monotona. Per cui converge.

Osserviamo quindi che $ 2<e<3 $

Teo: Il numero $ e $ è irrazionale.
Dim: Supponiamo che $ e=\dfrac{a}{b} $. Allora
$ b!e\in\mathbb{N} $
dunque, poiché $ \displaystyle{\sum_{k=0}^b\dfrac{b!}{k!}}\in\mathbb{N} $, allora
$ \displaystyle{x=\sum_{k=b+1}^\infty\dfrac{b!}{k!}}\in\mathbb{N} $
ma
$ \dislpaystyle{\frac{1}{b+1}+\frac{1}{(b+1)(b+2)}+\ldots < \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(b+1)^n}=\frac{1}{b} $
e poiché $ b\neq1 $ si ha che $ x\in(0,1) $ ma questo è assurdo.