sns 2000/2001 #2

[bruno222]

salve a tutti ...

propongo questo esercizio dato ai test di ammissione sns per verificare se la mia soluzione è corretta...

La forza con cui la terra attrae un punto materiale di massa m, che si trovi in un punto generico p è $ \ F= -\mu m OP/OP^3 $ dove O è il centro della terra e $ \mu = 4 *10^{14} m^3s^{-2} $.
Si abbia un satellite artificiale costituito da due sferette uguali di massa m e legate rigidamente da una barra di lunghezza AB=2L e di massa trascurabile. Si vuole studiare il moto del satellite attorno al suo centro di massa G mentre questo orbita attorno alla terra su di una traiettoria circolare di raggio R.

(a) Per quali valori di $ \ alpha $ il momento delle forze agenti sul satellite è nullo?(a me torna $ 0+k{\pi}/2 $.)
(b) Tenendo conto che L<<r, mostrare che , in prima approssimazione questo momento, diretto lungo l'asse z, è :
$ M_z= -(3{\mu}m/L)(L/R)^3 sin{2\alpha} $.
(c) Calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile per R=7000Km,L=5m e m=4Kg.
allego il disegno.

[memedesimo]

la formula mi torna uguale, ma con un 2 al posto del 3....sto cercando di capire come mai

[memedesimo]

gnum gnum...forse ci sto arrivando

[memedesimo]

Rettifico: non torna ancora

[memedesimo]

ditemi dove sbaglio ragionamento:

Agisce una sola forza per ciascuna massa, cioè la gravità. Siccome sono molto lontane da O, allora posso supporre che la forze siano parallele a OG. Adesso per calcolare il momento totale basta sottrarre i due momenti, tenendo conto che le forze sono diverse perchè le due masse si trovano a distanze diverse dal centro della terra.

[Zoidberg]

Anch'io faccio cosi ma il fattore 3 non spunta in nessun caso!
Evitando di semplificare gli angoli però viene un casino!
Prevedo che domani ci perderò la mattinata... Anzi no facciamo il pomeriggio perché domenica mattina si dorme!

[TADW_Elessar]

anche io l'avevo fatto tempo fa e mi veniva sempre 2... però non mi ricordo se alla fine ero riuscito a risolverlo come diceva lui

[rbtqwt]

Io ho provato così.. però ottengo sempre un $ 2 $..
considerando i vettori$ \vec BO $ e $ \vec AO $ paralleli a $ \vec{GO} $:
$ \vec{M_G} = \vec{GB} \times \vec F_{BO} + \vec{GA} \times \vec F_{AO} $
considerando le lunghezze dei vettori come $ |\vec{BO}| \simeq (R+L\cos\alpha) $ e $ |\vec{AO}| \simeq (R-L\cos\alpha) $:
$ \vec{M_G} = L\mu m \sin \alpha \left( \frac{1}{(R+L\cos\alpha)^2} - \frac{1}{(R-L\cos\alpha)^2} \right) \hat z $
da cui:
$ |\vec{M_G}| = -4L\mu m \sin \alpha \left( \frac{RLcos\alpha}{(R^2-L^2\cos^2\alpha)^2} \right) $
$ |\vec{M_G}| = -2L^2\mu m R \sin 2\alpha(R^2- L^2\cos^2\alpha)^{-2} $
dato che $ L \ll R $
$ |\vec{M_G}| = -2L^2\mu m \sin 2\alpha R^{-3} $
ossia, in altra forma:
$ |\vec{M_G}| = -(2\mu m / L)(L/R)^3 \sin 2\alpha $

Dove sbaglio?

[mitchan88]

Io l'avevo fatto e mi veniva giusto il fattore 3... Però non so dove ho messo il foglio coi contazzi XD domani provo a rifarli

[Zoidberg]

Arriva lui...

[mitchan88]

Prendiamo la massa B. Allora, detta Hb la proiezione di G su OB, si ha che il modulo del momento di B rispetto a G è Fb*GHb. Considerando l'area del triangolo OGB (=1/2*GO*GB*sen(alfa)=1/2*BO*GHb), si ha che Hb=Lrsen(alfa)/OB, per cui il momento di B sarà GMmLrsen(alfa)/OB^3, essendo Fb=GMm/OB^2.
Per cui il momento totale (a meno del segno) è, essendo i due momenti opposti, M=GMmLrsen(alfa)*(1/OB^3-1/OA^3)

Ma si ha che 1/OB^3-1/OA^3=(OA^3-OB^3)/(OA*OB)^3=(OA-OB)(OA^2+OB^2+OA*OB)/(OA*OB)^3

Ora essendo L<<r possiamo approssimare OA-OB=2Lcos(alfa) (considerando OA e OB paralleli), OA^2=OB^2=Oa*OB=r^2, OA^3*OB^3=r^6, per cui

1/OB^3-1/OA^3=6Lcos(alfa)/r^4, da cui con pochi conti si ottiene la relazione cercata, con il fattore 3

[Deerber]

Oddio non ci ho capito nulla... non è che la potresti postare in latex mitch?

[Deerber]

Ah tra parentesi... qualcuno è riuscito a risolvere il secondo punto del problema? Chiede di calcolare il periodo delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile per r=7000 km, L=5 m e m=4 Kg. Good luck

EDIT: ok, mi sono appena accorto che i dati erano già nel post iniziale. Qualcuno l'ha fatto?

[mitchan88]

Beh basta vedere che se l'angolo di oscillazione è piccolo allora sen(2alfa)=2alfa per cui abbiamo che il momento è M=-costante*alfa, che è la legge di Hooke in forma angolare... per cui trovare il periodo di oscillazione è facile

[Deerber]

E mi pare anche giusto... hehe grazie mitch