trovare tutti gli interi...

[burbero]

ciao,
qualcuno potrebbe darmi una mano a risolvere questi due problemini?

1)
Trovare tutte le coppie di interi (x,y) tali che:
$ x^4+3x^2y^2+9y^4=12^{2006} $

2)
Trovare le soluzioni intere dell'equazione:
$ x^3+2y^3=4z^3 $

grazie x l'aiuto... è un pò che ci provo ma non sono arrivato a niente..

[Cesco]

Provato con la discesa infinita o roba del genere?

[mod_2]

Provo a rispondere al secondo problema:
2)
Trovare le soluzioni intere dell'equazione:
$ x^3+2y^3=4z^3 $

Pertanto noto che il secondo addendo è pari e così è anche il risultato e quindi anche $ x^3 $ è pari, possiamo allora scrivere l'equazione in:
$ 8x'^3 + 2y^3 = 4z^3 $
semplificando otteniamo:
$ 4x'^3 + y^3 = 2z^3 $
questa volta è y a essere pari e quindi:
$ 4x'^3 + 8y'^3 = 2z^3 $
semplificando anche questa volta:
$ 2x'^3 + 4y'^3 = z^3 $
Questa volta quello a essere pari è $ z $
Continuando di questo passo deduciamo che $ x, y, z $ possono essere divisi per un numero infinito di 2 rimanendo sempre nell'insieme degli interi, per cui l'unica soluzione ammessa è
$ x=y=z=0 $

spero di essermi spiegato...

[mod_2]

1)
Trovare tutte le coppie di interi (x,y) tali che:
$ x^4+3x^2y^2+9y^4=12^{2006} $

La discesa infinita può essere applicata anche in questo caso:
$ x^{4}+3x^{2}y^{2}+9y^{4}=12^{2006} $
$ 16x'^{4}+12x'^{2}y^{2}+9y^{4} = 12^{2006} $
$ 16x'^{4} + 48x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}=12^{2006} $
semplificando abbiamo che:
$ x'^4 + 3x'^2 y'^2 + 9y'^4 = 12^{2006} $
...e così via e quindi la soluzione è evidente...

[ficus2002]

$ 16x'^{4} + 48x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}=12^{2006} $
semplificando abbiamo che:
$ x'^4 + 3x'^2 y'^2 + 9y'^4 = 12^{2006} $

Non mi è chiaro questo passaggio...

[alberto.ravagnani]

$ 16x'^{4} + 48x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}= $
semplificando abbiamo che:
$ x'^4 + 3x'^2 y'^2 + 9y'^4 = 12^{2006} $

Non mi è chiaro questo passaggio...

Credo abbia soltanto dimenticato di dividere per 16 anche $ 12^{2006} $.
Se notiamo che $ x $ non è solo pari ma anche multiplo di $ 3 $ allora abbiamo $ x=6x' $ e dunque
$ 1296x'^{4} + 108x'^{2}y^{2}+9y^{4}=12^{2006} $
adesso $ y=2y' $ e
$ 1296x'^{4} + 432x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}=144^{1003} $
Dividendo per 144 abbiamo
$ 9x'^{4} + 3x'^{2}y'^{2}+y'^{4}=144^{1002} $
e adesso possiamo ripetere il gioco!

[mod_2]

$ 16x'^{4} + 48x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}= 12^{2006} $
semplificando abbiamo che:
$ x'^4 + 3x'^2 y'^2 + 9y'^4 = 12^{2006} $

è vero avete ragione voi...
$ 16x'^{4} + 48x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}= 12^{2006} $
semplificando abbiamo che:
$ x'^4 + 3x'^2 y'^2 + 9y'^4 = 3^{2006}*2^{4008} $
A questo punto penso che forse la mia dimostrazione è proprio sbagliata...

[burbero]

vediamo se ho capito:

$ x^4+3x^2y^2+9^4=12^{2006} $
da qui deduciamo che:
x è divisibile per 6
y è divisibile per 2
poniamo quindi:
$ x=6x_1 \mbox { e } y=2y_1 $
da cui
$ 1296x_1^4+432x_1^2y_1^2+144y_1^4=12^{2006} $

$ 9x_1^4+3x_1^2y_1^2+y_1^4=12^{2004} $
ora x è divisibile per 2 e y per 6, quindi:
$ x=2x_2 y=6y_2 $
e con passaggi simili otteniamo
$ x_2^4+3x_2^2y_2^2+9y_2^4=12^{2002} $
e possiamo continuare sino a
$ 9x_n^4+3x_n^2y_n^2+y_n^4=1 $

[mod_2]

$ 16x'^{4} + 48x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}= $
semplificando abbiamo che:
$ x'^4 + 3x'^2 y'^2 + 9y'^4 = 12^{2006} $

Non mi è chiaro questo passaggio...

Credo abbia soltanto dimenticato di dividere per 16 anche $ 12^{2006} $.
Se notiamo che $ x $ non è solo pari ma anche multiplo di $ 3 $ allora abbiamo $ x=6x' $ e dunque
$ 1296x'^{4} + 108x'^{2}y^{2}+9y^{4}=12^{2006} $
adesso $ y=2y' $ e
$ 1296x'^{4} + 432x'^{2}y'^{2}+144y'^{4}=144^{1003} $
Dividendo per 144 abbiamo
$ 9x'^{4} + 3x'^{2}y'^{2}+y'^{4}=144^{1002} $
e adesso possiamo ripetere il gioco!

Però mi è venuto un dubbio sul risulato ditemi se è giusto il passaggio che faccio, seguo dunque i passaggi di alberto che sono giusti:
$ 9x'^{4} + 3x'^{2}y'^{2}+y'^{4}=144^{1002} $
$ 9x'^{4} + 108x'^{2}y''^{2}+1296y''^{4}=144^{1002} $
$ 144x''^{4} + 432x''^{2}y''^{2}+1296y''^{4}=144^{1002} $
semplificando avremo di nuovo
$ x''^{4} + 3x''^{2}y''^{2}+9y'^{4}=144^{1001} $
ripetendo lo stesso procedimento per 1003 volte avremo alla fine una cosa del genere:
$ 9a^{4} + 3a^{2}b^{2} + b^{4} = 144^ {0} = 1 $
da cui i risultati ammessi sono
$ b=1, a=0; $

(penso ke sono sbagliati questi passaggi che faccio ma vorrei una conferma... )

[alberto.ravagnani]

Pare anche a me che si giunga a questo...
Dunque nessuna soluzione...
Qualcuno più esperto può confermare??

[mod_2]

giungo dunque a questo seguendo i miei passaggi
$ b=1; a=0; $\rightarrow$ x=0; y=3^{501} * 2^{1003} $
?

[alberto.ravagnani]

Che stupido...anche $ 0 $ è un intero!!
Si! C'è la soluzione indicata da mod_2! Almeno così risulta anche a me..

[Gufus]

Si è proprio quella la soluzione (del secondo esercizio)...nel video introduttivo di algebra del sito di MG cè quello stesso esercizio...
http://www2.ing.unipi.it/~d9199/Home_Page/OT_Index.html

la risoluzione dell'esercizio in questione è a 9 minuti dall'inizio...

[mod_2]

Si è proprio quella la soluzione (del secondo esercizio)...nel video introduttivo di algebra del sito di MG cè quello stesso esercizio...
http://www2.ing.unipi.it/~d9199/Home_Page/OT_Index.html

la risoluzione dell'esercizio in questione è a 9 minuti dall'inizio...

Si infatti sn venuto a conoscenza della discesa infinita proprio attravero quel video...