strane sequenze

[czap]

ognuna di queste sequenze (finite) di numeri interi dipende dalla o dalle sequenze precedenti: indicare come e perché

$ s_1 : 1 $

$ s_2 : 1 1 $

$ s_3 : 2 1 $

$ s_4 : 1 2 1 1 $

$ s_5 ... $

com'è fatta $ s_5 $ ?

[alberto.ravagnani]

$ s_5 : 111221 $
Le cifre che occupano posizione dispari (la prima, la terza...) indicano quanti numeri ci sono del tipo che segue.
in $ s_1 $ c'è "un uno" e allora $ s_2 $ sarà $ 11 $
in $ s_2 $ ci sono "due... uni(!)" e allora $ s_3 $ sarà $ 21 $
in $ s_3 $ ci sono "un due" e "un uno", così abbiamo $ s_4 : 1211 $
in $ s_4 $ ci sono "un uno", "un due", "due... uni" così abbiamo $ s_5 : 111221 $

In tal caso sarebbe $ s_6 : 312211 $ e così via...

Può funzionare??...è questa la soluzione?

[czap]

$ s_5 : 111221 $
Le cifre che occupano posizione dispari (la prima, la terza...) indicano quanti numeri ci sono del tipo che segue.
in $ s_1 $ c'è "un uno" e allora $ s_2 $ sarà $ 11 $
in $ s_2 $ ci sono "due... uni(!)" e allora $ s_3 $ sarà $ 21 $
in $ s_3 $ ci sono "un due" e "un uno", così abbiamo $ s_4 : 1211 $
in $ s_4 $ ci sono "un uno", "un due", "due... uni" così abbiamo $ s_5 : 111221 $

In tal caso sarebbe $ s_6 : 312211 $ e così via...

Può funzionare??...è questa la soluzione?

questa è la soluzione

ora rilancio: continuando all'infinito, sarà sempre possibile esprimere nelle posizioni dispari numeri compresi fra 1 e 9 (equivalentemente, il numero di cifre uguali consecutive sarà sempre al massimo 9) ? ci sono cifre che non compariranno mai in queste sequenze, a parte lo 0 ?

[alberto.ravagnani]

Supponiamo che in una certa sequenza $ s_i $ ci siano più di tre cifre uguali. Per chiarire le idee sarebbe $ s_i : ....ABCDXXXXEFG.... $ per qualche $ i $. I casi son due:

Primo caso: $ D $ indica quante $ X $ ci sono in $ s_{i-1} $. Ma allora non ha senso scrivere nuovamente $ XX $ (si sarebbe scritto $ (D+X)X $)

Secondo caso: $ D $ è legato a C e in $ s_{i-1} $ compare $ X $ volte di fila la cifra $ X $. Abbiamo sistemato le prime due $ X $, ma ne abbiamo almeno altre due e questo ci porta ad un altro assurdo, perchè avremmo scritto $ (2X)X $.

Dunque, se non vado errato, le cifre uguali non sono mai più di tre.
Ovviamente il discorso cambia se i numeri usati sono con più di una cifra: in tal caso le cifre non significherebbero più alternativamente la "quantità" e la "qualità" delle cifre della sequenza precedente.

Ho fatto qualche stupidata? O può andare?

[alberto.ravagnani]

Se quanto ho detto nella prima risposta è vero, allora non compare mai nessuna cifra superiore a 3.
Infatti (per induzione) se non compare in $ s_i $ non compare nemmeno in $ s_{i+1} $. Infatti non può comparire nè nelle posizioni pari di $ s_{i+1} $ (per ipotesi induttiva, visto che le cifre di posto pari sono le cifre di $ s_i $), nè nelle posizioni dispari (per quanto dimostrato precedentemente, cioè che non vi sono mai quattro o più cifre consecutive uguali).

Ovviamente se la prima risposta è errata anche questa fa acqua da tutte le parti!!
Aspetto tua conferma o smentita!

[czap]

Se quanto ho detto nella prima risposta è vero, allora non compare mai nessuna cifra superiore a 3.
Infatti (per induzione) se non compare in $ s_i $ non compare nemmeno in $ s_{i+1} $. Infatti non può comparire nè nelle posizioni pari di $ s_{i+1} $ (per ipotesi induttiva, visto che le cifre di posto pari sono le cifre di $ s_i $), nè nelle posizioni dispari (per quanto dimostrato precedentemente, cioè che non vi sono mai quattro o più cifre consecutive uguali).

Ovviamente se la prima risposta è errata anche questa fa acqua da tutte le parti!!
Aspetto tua conferma o smentita!

infatti: compaiono solo le cifre 1,2,3

per una discussione un po' più articolata, con varianti etc. v. ad es. John Horton Conway (tradotto)
http://utenti.quipo.it/base5/conway/teocosmi.htm