Radici p-esime

[marco-daddy]

Sia $ $ p $ un primo dispari e sia $ $\zeta $ una radice primitiva $ $p $-esima dell'unità.
Sia $ A_p $ l'insieme dei residui quadratici (escluso lo 0) e $ B_p $ l'insieme dei residui non quadratici modulo $ $p $.
Sia infine

$ $\alpha = \sum_{k\in A_p}\zeta^k $ $ $\beta=\sum_{k\in B_p}\zeta^k $

Dimostrare che $ $ \alpha $ e $ $\beta $ sono le radici di

$ $x^2+x+\frac{1-\left(\frac{-1}{p}\right)p}{4}=0 $


Per chi non conoscesse il simbolo di Legendre

$ $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}} $

[pic88]

Corollario: p=-1.

Dim. Posto $ {\zeta = 1} $ abbiamo $ {\alpha + \beta =p} $, ma per le formule di Viète $ {\alpha + \beta =-1} $. Dove sbaglio?

[Jacobi]

Corollario: p=-1.
Dove sbaglio?

p deve essere un primo

[pic88]

Corollario: p=-1.
Dove sbaglio?

p deve essere un primo

Per quello si ottiene una contraddizione!!!!

EDIT: Ah, comunque... http://it.wikipedia.org/wiki/Corollario

[marco-daddy]

scusa pic88

$ $\zeta $ è una radice primitiva

[darkcrystal]

Non ho molto tempo, però...
Mmmmh... $ \alpha + \beta = \sum_{k=0}^{p-1} \zeta^k=\frac{\zeta^p-1}{\zeta-1}=0 $, quindi deduco che lo zero sia escluso... in tal caso $ \alpha+\beta=\frac{\zeta^p-1}{\zeta-1}-\zeta^0=0-1=-1 $
Ops finito il mio tempo... a dopo per il prodotto, ciao!

[Jacobi]

Per quello si ottiene una contraddizione!!!!
EDIT: Ah, comunque... http://it.wikipedia.org/wiki/Corollario

Scusate, avevo letto in fretta..., nn c'era bisogno di bombardare cosi'...
(ho notato solo oggi il post di pic88 )

[darkcrystal]

Dunque, il prodotto. Intendo qui che prendo i come $ \sqrt{-1} $.

Si ha $ \displaystyle \sum_{0 \leq k \leq p-1} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t=\sqrt{p} $ o $ i \sqrt{p} $ (a seconda del simbolo di legendre di -1 su p) in virtù della http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum; inoltre, $ \displaystyle \sum_{0 \leq k \leq p-1} \left(\frac{t}{p}\right) \zeta^t $ è uguale ad a-b: infatti se $ \displaystyle k \in A_k $ il termine viene preso con il segno più e viceversa. Perciò abbiamo, in definitiva, $ \displaystyle \sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}=a-b \Rightarrow $$ \displaystyle \sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}=a-(-1-a)=2a+1 \Rightarrow a $$ \displaystyle =\frac{\sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}-1}{2} \Rightarrow b=\frac{-\sqrt{\left(\frac{-1}{p}\right)}\sqrt{p}-1}{2} $ da cui, infine, $ \displaystyle ab=\frac{1-\left(\frac{-1}{p}\right)p}{4} $, c.v.d.

Ciao!

[darkcrystal]

Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss... come che sia, qui c'è la sostanza della dimostrazione (nota, non è una mia invenzione... purtroppo):

$ \displaystyle (\sum \left(\frac{n}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}n})^2=(\sum \left(\frac{s}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}s})(\sum \left(\frac{t}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}t}) $$ \displaystyle =\sum_{s,t} \left(\frac{st}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}(s+t)} $.
Sia $ n=s^{-1}t \pmod p $
$ \displaystyle \sum_{s,n} \left(\frac{s^2n}{p}\right)e^{\frac{2\pi i}{p}s(1+n)} $$ \displaystyle =\sum \left(\frac{n}{p}\right) \sum_s e^{\frac{2\pi i}{p}s(1+n)} $.
L'ultima somma fa -1 (geometrica) per tutti gli n, salvo -1 (mod p), per cui fa p-1. Perciò la cosa diventa $ \displaystyle =\left(\frac{-1}{p}\right)p-\sum_{s} \left(\frac{s}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)p $ perchè l'ultima somma è ovviamente zero (ci sono tanti residui quanti non residui).
Ciao!

[marco-daddy]

Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss...

Si, poi ho cambiato idea

[Marco]

Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss...

Si, poi ho cambiato idea

Un mio messaggio???

[salva90]

Boh evidentemente me lo sono sognato... mi sembrava ci fosse un messaggio di marco che chiedeva di dimostrare la somma di gauss...

Si, poi ho cambiato idea

Un mio messaggio???

marco daddy non credo si chiami geronimo, sai