cortona 1996

[xxwinny91xx]

in quanti modi è possibile colorare con sei colori un pentagono dodecaedro in modo che ogni faccia confini con cinque facce di colori diversi fra loro e da quello della faccia stessa?
(sicuramente per qualcuno sarà banale...)

[mod_2]

forse sono un pò in ritardo...

6!=720
è facile notare ke le facce opposte devono per forza essere dello stesso colore...

[3C273]

Io avrei detto 4!/2=12... la differenza sta nel fatto che secondo me due pentagoni dodecaedri che posso ruotare in modo che siano uguali sono da considerarsi colorati uguali... insomma io me li immagino liberi di ruotare, non incollati al tavolo! Ma è una questione di interpretazione!

[mod_2]

Io avrei detto 4!/2=12... la differenza sta nel fatto che secondo me due pentagoni dodecaedri che posso ruotare in modo che siano uguali sono da considerarsi colorati uguali... insomma io me li immagino liberi di ruotare, non incollati al tavolo! Ma è una questione di interpretazione!

in effetti hai anke ragione... tutto dipende da come vogliamo interpretare il problema...

[Russell]

Nel dettaglio...
coloriamo del colore A una faccia e dei colori B,C,D,E,F quelle adiacenti. Se la faccia opposta a quella di colore A fosse di un altro colore allora una delle facce che restano da colorare confina con due facce dello stesso colore, assurdo.
Dunque, se il problema ha soluzione, le facce opposte hanno lo stesso colore. E' facile poi vedere che questa condizione porta effettivamente ad una soluzione.
Dunque possiamo colorare la prima faccia in 6 modi e i colori di quelle confinanti possono essere permutati in 5! modi. Totale: 5! 6= 6!
P.S. Il problema risale a Cortona 1996: la soluzione c'è anche in Le Olimpiadi della Matematica, Zanichelli 2002

[3C273]

Quindi anche tu hai interpretato come mod_2... non so, ovviamente è solo una questione di interpretazione, ma anche rileggendo il problema continuo a pensare che si intendesse che dopo che ho colorato il pentagono dodecaedro posso guardarlo da qualsiasi parte, e vista così sono solo 12 quelli diversi... sarei curiosa a questo punto di sapere cosa intendeva chi ha scritto il testo!

[3C273]

P.S. Il problema risale a Cortona 1996: la soluzione c'è anche in Le Olimpiadi della Matematica, Zanichelli 2002

Ah, questo significa che sai che la vostra soluzione (6!) è quella ufficiale? D'accordo allora! Strano, avrei scommesso che andava interpretato come dicevo io!

[Russell]

Però data una colorazione, per rotazione posso ottenere tutte le altre...
Dunque nel tuo senso la colorazione è una sola...o no?

[3C273]

Nooo! Perchè?
Forse non ho capito cosa intendi...

[moebius]

Nemmeno io...

[mod_2]

Nooo! Perchè?
Forse non ho capito cosa intendi...

penso ke Russel vuole dire ke il modo di colorare il dodecaedro è unico, basta ruotarlo per ottenere tutte le altre possibilità, ma mi viene un dubbio ...
supponiamo ke una faccia sua 1
e tutti quelli intorno siano 2 3 4 5 6 così in ordine
ora per ottenere un cambiamento poxo al posto dell'ordine 2 3 4 5 6
fare nn so 2 3 5 4 6
ora mi kiedo con questo secondo modo di disporre i colori ottengo sempre da qualke altra parte del dodecaedro la stessa cosa del primo caso ? cioè 1 al centro e intorno in ordine 2 3 4 5 6? (un caso ke mi sembra impossibile...)

[3C273]

Nooo! Perchè?
Forse non ho capito cosa intendi...

penso ke Russel vuole dire ke il modo di colorare il dodecaedro è unico, basta ruotarlo per ottenere tutte le altre possibilità

Beh anch'io avevo interpretato così, e infatti gli ho risposto "Nooo! Perchè?"... perchè appunto secondo la mia interpretazione i modi di colorare il dodecaedro sono 12, non 1... sostanzialmente per il motivo che dici tu.

Io ho fatto così: i colori sono 1,2,3,4,5,6.
Ci sono 2 facce con l'1, ne prendo una e me la metto di fronte. Intorno a questa c'è una faccia col 2, lo ruoto intorno all'asse che passa per le due facce con l'1 e la metto in alto (e questo posso sempre farlo). Restano 4 facce in cui posso disporre 3,4,5,6 in 4! modi. Però noto che di queste devo considerarne solo la metà, in quanto dietro c'è un'altra faccia con l'1 attorno alla quale i colori si presentano in senso opposto (avete già dimostrato che facce opposte sono dello stesso colore...) e quindi le possibili colorazioni secondo me sono 12. Mi rimane la curiosità di sapere se la sol ufficiale è 12 o 720!

[moebius]

E' 720... il bello sarebbe sapere se e' un problema originale dato a Cortona o preso altrove...

[mod_2]

però 3C273 nn ha completamente torto dato ke il problema nn ha precisato se poxiamo ruotare oppure no...

[Ponnamperuma]

Comunque confermo che il risultato ufficiale è curioso, siccome di solito si chiede quanti sono i modi di colorarlo, a meno di rotazioni!... come già 3C273 disse...