cerchi, punti e regioni

[fede90]

Presa una circonferenza, si individuano su essa $ $n$ $ punti, che poi vengono collegati tra loro con dei segmenti. Il cerchio risulta quindi diviso in un certo numero $ $r$ $ di regioni. Trovare una formula per determinare $ $r$ $ in funzione di $ $n$ $. NB: $ $r$ $ è il massimo numero di regioni in cui puo essere suddiviso il cerchio.

[mod_2]

...è da una quarantina di minuti ke ci provo... ma nn sono riuscito a trovare nulla...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

ehm scusate ma ad esempio con sei punti se i sei punti sono i vertici di un esagono le cui diagonali che collegano i vertici opposti concorrono abbiamo 30 parti altrimenti 31

[mod_2]

confermo le 31 regioni se irregolare

[mod_2]

ragà ho notato una cosa...
supponiamo ke sia n il numero di punti presenti sulla circonferenza...
x sapere il numero di regioni basta fare lo sviluppo del binomio
$ (x+y)^{n-1} $
e sommare tutti i coefficienti ottenuti
in termini combinatori:
$ {{n-1} \choose 0}+{{n-1} \choose 1}+...{{n-1} \choose {n-1}} $
anke se nn ho trovato proprio una formula generale ditemi solo se è giusto...
se è giusto posto anke il ragionamento ke avevo fatto...

[fede90]

@Gabriel: si, nel caso di sei punti possono essere 30 o 31, infatti il problema dice di determinare il MAX numero di regioni in cui puo essere suddiviso

@mod_2: se sommi i coefficienti, ottieni $ $2^{n-1}$ $, che è giusta per $ $n=2,3,4,5$ $ ma è sbagliata da 6 in poi (vedi il caso dei 6 punti)

[mod_2]

@mod_2: se sommi i coefficienti, ottieni $ $2^{n-1}$ $, che è giusta per $ $n=2,3,4,5$ $ ma è sbagliata da 6 in poi (vedi il caso dei 6 punti)

O.O è vero ero troppo contento per aver trovato un procedimento per i primi casi ke nn sono andato oltre a vedere gli altri casi...

[mod_2]

nn so se ha qualke connessione con la soluzione senza dimostarzione ke fede gentilmente mi ha fatto sapere... ma...
$ \frac{n(n-1)+1(n-2)(n-3)+2(n-3)(n-4)+3(n-4)(n-5)...k(n-n+1)(n-n)}{2}+1 $
questa l'ho verificato per i primi 6 casi e funge (sempre se nn ho sbagliato a fare i calcoli...) e per n uguale a 7 penso ke le regioni devono essere 57...

io ho ragionato così:
- ordino i punti sulla circonferenza in: 1, 2, 3, 4, 5, 6,..., n
- parto da 1 e vado a collegare tutti i segmenti che hanno come un estremo 1
- collegando 1 con 2 non incontro nessun segmento ma aggiunge uno spazio
- collegando 1 con 3 incontrerebbe tutti i segmenti ke hanno km un estremo 2
- collegando 1 con 4 incontrerebbe tutti i segmenti ke partono dai punti 2 e 3 e ke finiscoo dall'altra parte, insomma, ke finiscono a collegarsi con i punti 5,6,7,..., n
- in generale notiamo ke se un segmento incontra m segmenti aggiunge esattamente m+1 regioni
- applicando stexo procedimento per tutti gli altri punti noteremo ke di 1 sono presenti in ogni procedimento per punto, e ke la loro quantità aumetano sempre di uno perchò $ \frac{n(n-1)}{2} $
- facilmente noteremo ke anke le altre parti (n-3), (n-4), (n-5)... sono presenti in ogni procedimento....

(troppo incasinato e poco kiaro...)