Successione periodica da un certo $ n_0 $ in poi (cioè esistono $ a,n_0 \in N_{> 0} $ tale che se $ n\geq n_0 $ allora $ f_{n+a}(x)=f_n(x) $ ) oppure periodica sempre (cioè da $ n_0=1 $) ???
Quando nessuno risponde sorge il dubbio che il problema sia banale o impossibile.
Pertanto posto la mia soluzione, magari qualcuno mi dice se è sbagliata...
1) Per ogni x irrazionale non è periodica:
Infatti detta g la funzione che ad un elemento della successione associa il successivo, $ {x} $ irrazionale implica $ {g(x)} $ irrazionale (g è lineare con coefficienti razionali). Detto ciò, se divenisse periodica esisterebbero $ {x_k \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}} $, $ {T \in \mathbb{Z}} $ tali che $ {g^T(x_k)=x_k} $, dove l'esponente è l'iterata, ma questa è un'equazione lineare a coefficienti razionali e non può avere soluzioni irrazionali.
2) Per ogni razionale, diventa periodica. Osserviamo anzitutto che ogni elemento della sequenza è compreso tra 0 e 1. Questo si vede dalle condizioni su a, moltiplicando la catena di disuguaglianze per k e sottraendo a.
Sia ora $ {x=m/n} $. Osserviamo che $ {g(m/n)=(mk-na)/n} $, pertanto il numeratore di $ g{(m/n)} $:
- è minore di n (essendo la frazione minore di 1),
- differisce da mk per un multiplo intero di n.
Allora possiamo dire che $ \displaystyle g(m/n)=\frac{k*m}{n} $, essendo $ {*} $ la moltiplicazione in $ {\mathbb{Z}_n} $.
Ora, se (n,k)=1 allora, per qualche $ {i} $ si avrà $ \displaystyle g^i(m/n)=\frac{k^i*m}{n}=\frac{m}{n} $. (in quanto, se k ed n sono coprimi, esiste una potenza di k che fa 1 modulo n).
Se invece (n,k)>1, dopo la prima applicazione di f, la frazione si semplifica, diventando $ {\frac{m_1}{n_1}} $ con n_1<n. È chiaro che non essendoci una successione strettamente decrescente nei naturali, questo processo si fermerà, ossia per qualche j, il denominatore di $ {g^j(m/n)} $ sarà primo con k, come nel caso precedentemente studiato.
EDIT: in questo modo, dunque, si può anche stabilire quando la funzione è periodica a partire dal primo termine: basta che questi sia una frazione (ridotta ai minimi termini) il cui denominatore è primo con k, oppure sia 0.
