solita urna e palline

[Juggler]

Si effettua una sequenza di estrazioni da un’urna contenente 10 palline bianche e 5 palline nere con la seguente regola: nelle estrazioni di ordine dispari (prima, terza…) la pallina estratta viene eliminata, nelle estrazioni di ordine pari invece viene rimessa nell’urna (e le palline vengono rimescolate). Si registra la successione dei colori man mano che vengono estratti.
i) Qual è la probabilità che l’ultima pallina estratta sia nera?
ii) Quante estrazioni occorrono per esaurire tutte le 15 palline?
iii) Qual è la massima lunghezza possibile di una sequenza iniziale tutta di palline bianche?

[Alex90]

i) Qual è la probabilità che l’ultima pallina estratta sia nera?

se intendi continuando ad estrarre finchè le palline non finiscono allora:
le estrazioni pari non ci interessano in quanto può uscire qualsiasi pallina tanto viene rimessa in gioco, a noi interessa che le bianche vengano tolte dall'urna quindi supponiamo che nelle prime 10 estrazioni dispari prima escano tutte le bianche (a quel punto ci saranno solo palle nere e quindi la condizione sarà verificata)

$ p=\frac{10}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{8}{13} \cdot ... \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{10! \cdot 5!}{15!} $

ii) Quante estrazioni occorrono per esaurire tutte le 15 palline?

visto che nelle estrazioni dispari la pallina viene eliminata allora serviranno 15 estrazioni dispari, quindi la risposta è 29

iii) Qual è la massima lunghezza possibile di una sequenza iniziale tutta di palline bianche?

sempre come prima le palline vengono scartate durante le estrazioni dispari, quindi oltre la prima possiamo dire che le altre 9 palline vengono usate in un'estrazione pari e poi nella successiva disapri, quindi $ 9 \cdot 2 + 1 = 19 $

[Zoidberg]

i) Qual è la probabilità che l’ultima pallina estratta sia nera?

se intendi continuando ad estrarre finchè le palline non finiscono allora:
le estrazioni pari non ci interessano in quanto può uscire qualsiasi pallina tanto viene rimessa in gioco, a noi interessa che le bianche vengano tolte dall'urna quindi supponiamo che nelle prime 10 estrazioni dispari prima escano tutte le bianche (a quel punto ci saranno solo palle nere e quindi la condizione sarà verificata)

$ p=\frac{10}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{8}{13} \cdot ... \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{10! \cdot 5!}{15!} $

Non sono d'accordo... Tu calcoli la probabilità che le ultime 5 palline siano nere, ma la domanda richiede un caso molto più generale, basta che l'ultima pallina sia nera.
Io direi semplicemente 5/15.

[Alex90]

i) Qual è la probabilità che l’ultima pallina estratta sia nera?

se intendi continuando ad estrarre finchè le palline non finiscono allora:
le estrazioni pari non ci interessano in quanto può uscire qualsiasi pallina tanto viene rimessa in gioco, a noi interessa che le bianche vengano tolte dall'urna quindi supponiamo che nelle prime 10 estrazioni dispari prima escano tutte le bianche (a quel punto ci saranno solo palle nere e quindi la condizione sarà verificata)

$ p=\frac{10}{15} \cdot \frac{9}{14} \cdot \frac{8}{13} \cdot ... \cdot \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} = \frac{10! \cdot 5!}{15!} $

Non sono d'accordo... Tu calcoli la probabilità che le ultime 5 palline siano nere, ma la domanda richiede un caso molto più generale, basta che l'ultima pallina sia nera.
Io direi semplicemente 5/15.

mmm...misà che hai ragione...devo smettere di fare problemi appena sveglio

cmq se posso almeno riduciamo a 1/3

[Russell]

Non metto in dubbio il risultato...
Ma qual è il procedimento che porta a $ p=\frac{1}{3} $?

[julio14]

Semplicemente al di là dei colori ogni pallina ha la stessa possibilità delle altre di essere ultima perchè niente gioca a vantaggio o svantaggio di nessuna delle palline.

[Russell]

Grazie...adesso che mi ci fai pensare era abbastanza ovvio...