Curiosando su Wikipedia trovo scritto che un'equazione diofantea della forma
$ ax+by=c $ della quale si cercano le soluzioni $ (x,y) $ ammette soluzioni se e solo se $ c $ è divisibile per $ MCD(a,b) $.
E' semplice dimostrare per assurdo che tale condizione è necessaria. Ma come si dimostra che è anche sufficiente?
In sostanza bisognerebbe dimostrare che un'equazione del tipo $ ax+by=c $ con $ a $ e $ b $ coprimi ammette sempre soluzione (infatti a questo si giunge dividendo per $ MCD(a,b) $ ambo i membri)...
Grazie in anticipo a chiunque risponderà...
Equazioni diofantee lineari
Equazioni diofantee lineari
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell
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pic88
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È il teorema di Bezout.
(a,b)=1 implica che esistono x e y interi tali che ax+by=1
Se a<b, considera i resti di a, 2a, 3a, ..., (b-1)a nella divisione per b. Nessuno di questi è nullo (la coprimalità implica che mcm(a,b)=ab), e se ne esistessero due uguali allora avremmo che b|a(i-j) con i-j<b, assurdo.
So we're done by pigeonhole
(a,b)=1 implica che esistono x e y interi tali che ax+by=1
Se a<b, considera i resti di a, 2a, 3a, ..., (b-1)a nella divisione per b. Nessuno di questi è nullo (la coprimalità implica che mcm(a,b)=ab), e se ne esistessero due uguali allora avremmo che b|a(i-j) con i-j<b, assurdo.
So we're done by pigeonhole
Ok...ho studiato l'dentità di Bezout...
Se ho capito...consideriamo l'equazione $ ax+by=c $ con $ c\neq 1 $. Per l'identità di Bezout esistono due numeri $ x_1, y_1 $ tali che $ ax_1+by_1=1 $, da cui $ acx_1+bcy_1=c $ e dunque le nostre soluzioni sono $ x=cx_1, y=cy_1 $, che esistono sempre quando esistono $ x_1, y_1 $...
Giusto??
Se ho capito...consideriamo l'equazione $ ax+by=c $ con $ c\neq 1 $. Per l'identità di Bezout esistono due numeri $ x_1, y_1 $ tali che $ ax_1+by_1=1 $, da cui $ acx_1+bcy_1=c $ e dunque le nostre soluzioni sono $ x=cx_1, y=cy_1 $, che esistono sempre quando esistono $ x_1, y_1 $...
Giusto??
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