Semplice Eq. Differenziale non lineare

[aarrttee]

Ciao a tutti....
ho un piccolo problema con questa eq. differenziale e relativo problema di cauchy, è semplice ma non capisco dove sbaglio...

y'' + y'(2) = 0 ( y primo è elevato al quadrato)
y(0) = 1
y'(0) = -1

faccio questa sostituzione y'(x) = z(x) e di conseguenza y''(x) = z'(x)
così ottengo: z' + z(2) = 0 -----> z' = - z(2) ------> dz/dx = -z(2)
e così la risolvo come una equazione a variabili separabili.
il problema, se fino a qua non ho sbagliao, nasce quando devo risolvere il problema di cauchy e mi ritrovo il ln(-1) come è possibile????

!!!Grazie anticipatamente a chi vorrà aiutarmi!!!

[aarrttee]

...nessuno sa aiutarmi...

[pic88]

cosa vuol dire "y primo è elevato al quadrato"?

Comunque se $ {z'(x)=-z(2)} $ allora $ {z(x)=-z(2)x+c} $ e allora $ y(x)=-z(2)x^2/2+cx+d $ e trovi c e d con le condizioni al contorno.
Hai $ y=-\frac{z(2)}{2}x^2+x+1 $
Per trovare z(2) è sufficiente derivare e sostituire 2 a x, ottenendo $ z(2)=-2z(2)+1 \Rightarrow z(2)= \frac {1}3 $ e la soluzione è $ y=-\frac{x^2}6+x+1 $

[aarrttee]

se è come dici te, cioè y= - (x^2)/6 + x +1
y' = -(x/3)+1
y''= -1/3

e non soddisfa y''+(y')^2=0

perchè: [-(1/3) + (x^2)/9 + 1 - (2/3)x] è diverso da zero...
forse non mi ero spiegato tanto bene... y primo elevato al quadrato volevo dire
(y')^2 e di conseguenza l'eq. è y'' + (y')^2 = 0

[pic88]

si ma allora quando fai la sostituzione devi anche dire z(2)^2 ... o no?

E comunque il modo in cui l'ho risolta non è tanto diverso da come si risolve quell'altra... solo che succederà

$ z(2)=-2z(2)^2+1 \Leftrightarrow (z(2)+1)(z(2)-1/2)=0 $

Cambia solo il valore di z(2).
Comunque questo forum non è fatto per chi non ha voglia di fare gli esercizi da solo

[aarrttee]

Grazie cmq a tutti, ma finalmente ho trovato una soluzione che scrivo qua sotto, magari potra servire a qualcuno.... il risultato torna, i vari passaggi credo siano giusti...
EQUAZIOE DIFFERENZIALE NON LINEARE+P.C.
y" + (y')^2 = 0
y(0)=1
y'(0)=-1
FACCIO QUESTA SOSTITUZIONE
y' = z
y'' = z'

z' = -z^2
dz/dx = -z^2

INTEGRO dz/z^2 = -dx
1/z= x +c
x+c diverso da zero ----> x diverso da -c
z=1/(x+c)

RISOLVO IL PROBLEMA DI CAUCHY
y'(0)=-1------> x=0, z=-1
-1=1/c ------> c= -1

TORVO Y INTEGRANDO
y=[integrale] 1/(x-1) = ln|x-1|+d
x-1 >0 ----> x>1

-se x>1 y=ln(x-1)+d
-se x<1 y=ln(1-x)+d

PR. Cauchy: x=0, y=1
x=0<1>1=ln(1)+d------>d=1

SOLUZIONE
y=ln(1-x)+1

CIAO A TUTTI by AARRTTEE