Dimostrare che la funzione $ f:N \rightarrow Z $ definita da $ f(n) = n^{2007}-n! $ e' iniettiva.
Questo problema nn e' facile, quindi nn consiglio a chi sta alle prime armi.
TST: Romania 2007
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Dunque
Mettiamo che $ m^{2007}-m!=n^{2007}-n! $ con $ $m>n>1 $
(n=1 non da soluzioni)
Riscrivo $ m^{2007}-n^{2007}=m!-n! $
Sia p un primo che divide n
se $ 2007\geq n $
$ 2007\leq v_p(LHS)=v_p(n!)\leq v_p(2007!)<2007 $
Assurdo
Se $ 2007<m,n $
$ m^{2007}\equiv n^{2007}\ \forall \ p<2007 $
Quindi $ m\equiv n\ (\bmod \ p) $ $ \forall \ p $ t.c. $ (p-1,2007)=1 $
$ 2007<m-n $
Da qui è facile capire che l' Rhs è un pò sovrabbondante, infatti
$ $RHS>n!(m(m-1)\dots(m-2007)-1)> $$ $2007!(m(m-1)\dots(m-2006))= $
$ $\prod_{i=0}^{2006}(m-i)(i+1)\geq m^{2007}>LHS $
Mettiamo che $ m^{2007}-m!=n^{2007}-n! $ con $ $m>n>1 $
(n=1 non da soluzioni)
Riscrivo $ m^{2007}-n^{2007}=m!-n! $
Sia p un primo che divide n
se $ 2007\geq n $
$ 2007\leq v_p(LHS)=v_p(n!)\leq v_p(2007!)<2007 $
Assurdo
Se $ 2007<m,n $
$ m^{2007}\equiv n^{2007}\ \forall \ p<2007 $
Quindi $ m\equiv n\ (\bmod \ p) $ $ \forall \ p $ t.c. $ (p-1,2007)=1 $
$ 2007<m-n $
Da qui è facile capire che l' Rhs è un pò sovrabbondante, infatti
$ $RHS>n!(m(m-1)\dots(m-2007)-1)> $$ $2007!(m(m-1)\dots(m-2006))= $
$ $\prod_{i=0}^{2006}(m-i)(i+1)\geq m^{2007}>LHS $
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