1) Trovare tutte le soluzioni intere non negative di $ \displaystyle 41=2^n-3^m $.
2) Trovare tutte le soluzioni intere non negative di $ \displaystyle 41=3^n-2^m $.
Ha fatto 40, farà 41!
Ha fatto 40, farà 41!
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
il primo mi pare non abbia soluzioni perchè
$ $$ 41 = 32 + 9 = 2^n - 3^m $$ $
$ $$ 2^n - 32 = 3^m + 9 $$ $
$ $$ 2^5 (2^{n-5}-1) = 3^2 (3^{m-2}+1) $$ $
ma sarebbe $ $$ 2^5 | 3^{m-2} + 1 $$ $ che è falso per ogni $ $ m $ $, basta provare un po' di potenze di $ $3$ $ modulo $ $$ 2^5 $$ $.
Per il secondo ci devo pensare un po' di più
$ $$ 41 = 32 + 9 = 2^n - 3^m $$ $
$ $$ 2^n - 32 = 3^m + 9 $$ $
$ $$ 2^5 (2^{n-5}-1) = 3^2 (3^{m-2}+1) $$ $
ma sarebbe $ $$ 2^5 | 3^{m-2} + 1 $$ $ che è falso per ogni $ $ m $ $, basta provare un po' di potenze di $ $3$ $ modulo $ $$ 2^5 $$ $.
Per il secondo ci devo pensare un po' di più
[tex] wHy \matchal{ALBERT}_K ? [/tex]
secondo me, anche nel secondo caso non ci sono delle soluzioni...
$ 41=3^n-2^m $
raccogliendo mi viene
$ 2^5(1+2^{m-5})=3^2(3^{n-2}-1) $
noto che $ 2^5 $ non divide $ 3^2 $ per cui deve dividere $ (3^{n-2}-1) $
e quindi
$ 3^{n-2} \equiv 1 (32) \Rightarrow ord_{32}(3)|31 \quad e \quad ord_{32}(3)|n-2 $
noto che 31è un numero primo e quindi il MCD tra n-2 e 31 può essere solo o 1 o 31, si vede subito che 1 è assurdo resta quindi il caso $ ord_{32}(3)|31 $
che è $ 3^{31} \equiv 1(32) $
applico modulo 4 e noto che
$ 3^{2k} \equiv 1(4) $
$ 3^{2k+1} \equiv 3(4) $
e quindi in modulo 4:
$ 3^{31}=32x+1 $
$ 3=0+1 \quad (4) $
che è assurdo!
sono le prime volte che utilizzo queste tecniche (ordine,teorema di Fermat...) , per cui può darsi che io abbia sbagliato tutto, per tanto qualcuno più esperto di me potrebbe confermare o eventualmente correggere...
$ 41=3^n-2^m $
raccogliendo mi viene
$ 2^5(1+2^{m-5})=3^2(3^{n-2}-1) $
noto che $ 2^5 $ non divide $ 3^2 $ per cui deve dividere $ (3^{n-2}-1) $
e quindi
$ 3^{n-2} \equiv 1 (32) \Rightarrow ord_{32}(3)|31 \quad e \quad ord_{32}(3)|n-2 $
noto che 31è un numero primo e quindi il MCD tra n-2 e 31 può essere solo o 1 o 31, si vede subito che 1 è assurdo resta quindi il caso $ ord_{32}(3)|31 $
che è $ 3^{31} \equiv 1(32) $
applico modulo 4 e noto che
$ 3^{2k} \equiv 1(4) $
$ 3^{2k+1} \equiv 3(4) $
e quindi in modulo 4:
$ 3^{31}=32x+1 $
$ 3=0+1 \quad (4) $
che è assurdo!
sono le prime volte che utilizzo queste tecniche (ordine,teorema di Fermat...) , per cui può darsi che io abbia sbagliato tutto, per tanto qualcuno più esperto di me potrebbe confermare o eventualmente correggere...
Appassionatamente BTA 197!
ecco lo sapevo che avrei sbagliato...-
l'Apprendista_Stregone
- Messaggi: 106
- Iscritto il: 29 lug 2007, 00:41
Nel secondo caso basta vedere che:
1)$ 3^n \equiv 41 (4) $ ossia che $ 3^n \equiv 1 (4) $ da cui n è pari.
2)$ -2^m \equiv 41 (3) $ ossia che $ -2^m \equiv 2 (3) $ da cui
$ 2^m \equiv 1 (3) $ e quindi anche m è pari.
Se m=2k e n=2h avremo
$ 3^n-2^m=41 \Rightarrow (3^h-2^k)(3^h+2^k)=41 $. Quindi 41 ha due divisori che differiscono tra loro di una potenza di 2. Poichè gli unici divisori di 41 sono 1 e 41 (con segno positivo e negativo) e in ogni caso nn differiscono di una potenza di 2, non avremo soluzioni.
1)$ 3^n \equiv 41 (4) $ ossia che $ 3^n \equiv 1 (4) $ da cui n è pari.
2)$ -2^m \equiv 41 (3) $ ossia che $ -2^m \equiv 2 (3) $ da cui
$ 2^m \equiv 1 (3) $ e quindi anche m è pari.
Se m=2k e n=2h avremo
$ 3^n-2^m=41 \Rightarrow (3^h-2^k)(3^h+2^k)=41 $. Quindi 41 ha due divisori che differiscono tra loro di una potenza di 2. Poichè gli unici divisori di 41 sono 1 e 41 (con segno positivo e negativo) e in ogni caso nn differiscono di una potenza di 2, non avremo soluzioni.
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Ponnamperuma
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Per la cronaca...
Altre vie proposte a suo tempo da HiTLeuLeR, Ponnamperuma e piever (in rigoroso ordine cronologico!)
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La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
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