Aiuto su calcoli di matrici tramite autovettori!

[Panett1]

La sezione "Problem solving olimpico" è riservata al problem solving olimpico. Qualche si scrive senza k. --FrancescoVeneziano

Ragazzi vorrei sottoporvi un problemino che mi ha dato qualche grattacapo

Il problema è il seguente:
A matrice 4x4 e sappiamo che :
_è simmetrica
_ ha 1,-1 come autovalori
_ l'autospazio dell'autovalore 1 è l'insieme delle x appartenenti a R4 : X1+2X2+X3+X4=0

Si chiedi di diagonalizzare A e dimostrare che A è ortogonale...

Prego chiunque abbia una soluzione di scriverla!!!


Grazie 10000000!!!

[moebius]

Tanto verrà spostato presto... quindi vediamo quante corbellerie riesco a dire prima che succeda...
E' simmetrica -> diagonalizzaile.
L'autovalore 1 ha molteplicità 3 (perchè il suo autospazio è un'iperpiano di R^4) ergo l'autovalore -1 ha molteplicità 1.
Quindi esiste una base (che non mi frega nulla di esplicitare) in cui si scrive come:

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 -1

A questo punto la sua inversa è lei stessa e coincide con la sua trasposta, quindi è ortogonale.

Mod!!!! C'è un topic da spostare qua!

[Panett1]

tk!!!

[Panett1]

Sicuro che sia giusto?

Xkè quando faccio Av deve essere uguale a 1v, cioè autovalore per autovettore,
ma il -1 nell'elemento di posto 4,4 di A mi fa cambiare segno all'elemento di posto 4,1 dell'autovettore e quindi mi sembra che non sia rispettata l'ugualianza su scritta...

Mi dareste una spiegazione?

GRAZIE!!!

[moebius]

Un autovettore di autovalore k è un vettore v per il quale Av=kv.
Tu vuoi trovare gli autovettori relativi ad un autovalore.
Non tutti i vettori di R^4 saranno autovettori (altrimenti la matrice sarebbe scalare ossia k volte l'identità).
Nel tuo caso ad esempio (1,1,1,1) non è un autovettore (ne relativo all'autovalore 1 ne all'autovalore -1) ma (1,1,1,0) è un autovettore relativo all'autovalore 1 e (0,0,0,1) è un autovettore relativo all'autovalore -1.

[Panett1]

si, ma se io prendo un vettore:
1
0
0
-1
appartiene all'utospazio relativo a 1 e quindi Av=kv per tale vettore, ma con la matrice da te indicata ciò con avviene...
Ccomunque poi sono riuscito a trovare una matrice che risolva il mio problema!!
Grazie 1000!


Cmq se vuoi ne riparliamo con calma su msn se mi dai la tua disponibilità!

[moebius]

Aspetta... non ho mica capito... quando diagonalizzi stai cambiando base...
Le componenti dei vettori dell'autospazio relativo ad 1 che ottieni dall'equazione sono relative alla base standard di R^4 e non a quella in cui A è diagonale.
Se scrivi tali componenti nella nuova base vedrai che tutto torna
Sinceramente però non capisco quale sia la matrice che hai trovato...

[Panett1]

No, non faccio la matrice di cambiamento di base...
E' soltanto che come ti ho detto, quando uso la matrice da te indicata e faccio Av=kv con il vettore che ti ho scritto, l'ugualizanza non viene verificata...

Per trovare la matrice ho usato una rappresentazione parametrica di A:

a b c d
b e f g
c f h l
d g l i

ho impostato il sistema: (con v1,v2,v3 autovalori risolventi il sistema _ x1+2x2+x3+x4=0
Av1= 1 v1 v1= -2 v2= -1 v3= -1
Av2= 1 v2 1 0 0
Av3= 1 v3 0 -1 0
0 0 1

E mi viene una soluzione funzione funzione (per esempio di l )
ma ricavo l dal fatto che l'altro autovalore deve essere -1, quindi impostando il determinante di (A-(-1)I) = 0 (cioè A-kv, con k=-1)

e quindi mi ricavo la matrice risolvente:
-5/7 -4/7 -2/7 -2/7
-4/7 -1/7 -4/7 -4/7
-2/7 -4/7 5/7 -2/7
-2/7 -4/7 -2/7 5/7

Che infatti è ortogonale!!

[moebius]

Si ma non è diagonale!
Tu volevi trovare la forma diagonale di A e provare che A è ortogonale:

Si chiedi di diagonalizzare A e dimostrare che A è ortogonale...

La forma diagonale di A è quella che ho scritto io.
Infine per mostrare che A è ortogonale basta mostrare che A è ortogonale nella base che la diagonalizza.