svolgimento limite (2)

[J@ckH@mm€r]

salve l' n-esimo limite in cui mi blocco e':

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n}-3)}+4n $

che ho svolto cosi:

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}(\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n})-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}(\log{e^{\frac {n\log 4} n-\frac {1} n}-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}({\frac {n\log 4} n-\frac {1} n}-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}({\log 4}-\frac {1} n}-\log3)}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}({\log {\frac{4} 3}-\frac {1} n})}+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{\frac {4} 3} - n+4n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{\frac {4} 3} +3n $

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n(n\log{\frac{4} 3 +3) $

da qui non mi pare che si possa semplificare oltre, ma se $ n\to\infty $ questo limite risulta $ \infty $ mentre il risultato e' -6... dove ho sbagliato?

[pic88]

salve l' n-esimo limite in cui mi blocco e':

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n}-3)}+4n $

che ho svolto cosi:

$ \displaystile\lim_{n\to\infty}n^{2}(\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}n})-\log3)}+4n $

Da dove salta fuori quel log 3 ?

[killing_buddha]

Gridare è maleducazione. -- EG

IL LOGARITMO ENTRA IN UNA SOMMA???????????????????????...?

[J@ckH@mm€r]

non capisco l'ultimo messaggio.
il logaritmo di 3 e' un mio errore di scrittura , ho sbaliato quando ho provato a risolverlo sono confuso con una proprieta' dei logaritmi $ \log {\frac {a} b} =\log a - \log b $. mi spiace....

[Pigkappa]

non capisco l'ultimo messaggio.

Probabilmente era solo un grido di terrore per l'aver visto log(x+y) = logx + logy. Nulla di grave

[killing_buddha]

$ \displaystyle\log\left(e^{\frac{n\log4 -1}{n}} - 3\right) $

$ \displaystyle\log\left(\frac{e^{\log4}}{e^{1/n}} - 3\right) $

a sto punto se $ ~n \rightarrow \infty $ si ha che il tutto va ad un valore costante... cosa non va?

[pic88]

La costante è zero

[killing_buddha]

giusto.

[flexwifi]

Allora, abbiamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(e^{\frac{n\log{4}-1}{n}}-3)}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log({\frac{e^{\log4}}{e^{\frac{1}{n}}}-3)}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log({\frac{4}{e^{\frac{1}{n}}}-3)}+4n $
Sviluppando l'esponenziale fino alla potenza 2 abbiamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log({\frac{4}{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2n^{2}}}-3)}+4n $
Usando lo sviluppo di $ \displaystyle (1+x)^{\alpha} $ (con $ \displaystyle \alpha=-1 $ nel nostro caso) fino alla potenza 2 otteniamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{[4(1-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{n^{2}})-3]}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(4-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}}-3)}+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}\log{(1-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}})}+4n $
Usando lo sviluppo di $ \displaystyle \log{(1+x)} $ fino alla potenza 2 otteniamo:
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{2}(-\frac{4}{n}+\frac{2}{n^{2}}-\frac{8}{n^{2}})+4n $=
$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}(-4n+2-8+4n) $=-6
Bye

[J@ckH@mm€r]

anche se so' di non essere molto bravo in matematica,mi spiace essere la cuasa di urli cosi'....

un'ultima cosa :

quando parli di sviluppo di una qualsiasi funzione (in questo esercizio lo hai fatto per l'esponenziale, il logaritmo e altro) fino ad una certa potenza, cosa intedi? lo sviluppo di taylor o la scrittura di un polinomio con gli infinitesimi?

[flexwifi]

Intendo lo sviluppo di Taylor o piu' esattamente in questo caso di McLaurin visto che nei limiti che hai proposto $ \displaystyle x_0 $ della formula di Taylor e' zero. Comunque in rete puoi trovare tante dispense ed esercizi sui sviluppi di Taylor e McLaurin... Basta digitare su google ad esempio "sviluppi di Taylor"...
Comunque in generale sviluppare una funzione fino ad una certa potenza nell'intorno di $ \displaystyle x_0 $ vuol dire approssimarla al polinomio di grado piu' alto che ti permette di eliminare la forma indeterminata del limite. Non so se mi sono spiegato bene...
Bye

[J@ckH@mm€r]

il mio problema e' che non riesco a ricordare gli sviluppi delle funzioni piu' frequenti come il logaritmo il seno il coseno o altro.... =(

[dimpim]

Gli sviluppi da sapere (perché capitano di frequente negli esercizi) sono:

sin(x), cos(x), tan(x), sinh(x), cosh(x), arcsin(x), arctan(x), log(1+x), (1+x)^k, exp(x)

...uhm, basta mi pare.