(a+½)^n+(b+½)^n intero?

[salva90]

Da 'Number Theory' di Naoki Sato:

Siano a, b e n interi. Si dimostri che

$ \bigg(a+\frac12\bigg)^n+\bigg(b+\frac12\bigg)^n $

è intero solo per un numero finito di valori di n.

Ora, dove sta il problema? il problema è che ho dimostrato l'esatto contrario
Ad esempio, si supponga che la prima parentesi sia multipla della seconda, diciamo k volte la seconda. Si nota subito che k deve essere dispari, altrimenti uno tra a e b non sarebbe intero. Abbiamo in questo caso

$ \displaystyle\bigg(a+\frac12\bigg)^n+\bigg[k\bigg(a+\frac12\bigg)\bigg]^n= $$ \displaystyle\bigg(k^n+1\bigg)\bigg(a+\frac12\bigg)^n $$ \displaystyle=\bigg(k^n+1\bigg)\frac{\bigg(2a+1\bigg)^n}{2^n} $.
Ora, supponiamo $ k=2^n-1 $: si ha per ogni n dispari $ 2^n|k^n+1 $(congruenze), ed il risultato è intero per infiniti valori di n (infatti i numeri dispari sono infiniti ).
Per cui, o c'è un errore nel testo, o ho preso una cantonata io (possibile visto che ho fatto questo esercizio nell'ora di filosofia). Chi mi aiuta a capire dove sta la retta via? Grazie in anticipo

[EUCLA]

anche te nell'ora di filosofia eh?
non ho capito perchè puoi supporre che uno sia multiplo dell'altro...di sicuro sarà una cosa ovvia ma sono abbastanza ignorante

[salva90]

Non è che lo posso supporre, semplicemente esamino questo caso, e noto che in questo caso l'ipotesi è falsa, quando invece dovrebbe valere indipendentemente dagli a e b scelti. Quindi qualcosa non va. giusto

[SkZ]

potrebbe essere dovuto al fatto che se $ $b+\frac{1}{2}=k\cdot \left( a+\frac{1}{2} \right) \Rightarrow k=\frac{2b+1}{2a+1}$ $
dopo di che tu supponi $ ~k=2^n-1 $,
quindi fissati $ ~a $ e $ ~b $ fissi anche $ $n=\log_2\left(\frac{a+b+1}{2a+1}\right)+1$ $

[EUCLA]

cancellata l'idiozia

[salva90]

quindi in questo modo n non può assumere tutti i valori... già... che cantonata avevo preso...
ok grazie 1000 SkZ. Appena ho tempo provo a rifarlo (magari non nell'ora di filosofia)

FATTO (credo)
allora, abbiamo $ \displaystyle \frac{(2a+1)^n+(2b+1)^n}{2^n} $
siano i e j tali che $ 2^i||a $ e $ 2^j||b $. Affermo wlog che $ j \ge i $. Risulta che $ (2a+1)^n \equiv 1 \pmod {2^i} $ e $ (2b+1)^n \equiv 1 \pmod {2^i} $.
Quindi abbiamo $ (2a+1)^n+(2b+1)^n \equiv 2 \pmod{2^i} $. Possiamo quindi scrivere $ $\frac{c\cdot2^i+2}{2^n} $ cioè $ $\frac{2(c\cdot2^{i-1}+1)}{2^n} $, da cui segue facilmente la tesi

[salva90]

altre soluzioni?

[GennadyUraltsev]

Beh, certamente forse la soluzione e` facile dopo, pero` ci sarebbero 2 punti i quali non sono "inclusi" nella soluzione:

Il raggionamento tiene se:
1) $ i \neq 0 $
2) $ i \neq 1 $

perche` se no:
1) parlare di congruenza modulo uno non ha senso
2) l'ultima parte non sembra portare, almeno non direttamente, a nulla

Forse sono io che non capisco, pero` e` gia` un po` di tempo che non riesco a risolvere sto qua.... (Leggendo il Sato)

[Febo]

Effettivamente mi sa che GennadyUraltsev c'ha un po' ragione... Anch'io il "da cui segue facilmente la tesi" non l'ho capito proprio. O meglio: segue un po' troppa tesi, secondo te quella somma non e' intera per ogni n>1, ma questo e' falso (a=1, b=2, n=3 ad esempio...)

Forse e' meglio se ricontrolli la soluzione...

[salva90]

è vero, perde il caso i=1...
e siccome ora non ho voglia di farlo, ci penserà qualcun altro