2^x-5=11^y

[marco-daddy]

Trovare tutte le coppie di interi positivi $ $(x,y) $ tali che

$ $2^x-5=11^y $

Good Luck

[mod_2]

$ $2^x-5=11^y $
aggiungo 11 da tutte e due le parti e ottengo
$ $2^x-5+11=11^y+11 $
$ $2^x+6=11^y+11 $
$ $2(2^{x-1}+3)=11(11^{y-1}+1) $
da ciò $ 2^{x-1}+3|11 $
(x=4;y=1)
e poi non so più come continuare...

[EUCLA]

Non necessariamente $ 2^{x-1}+3 |11 $...piuttosto $ 11|2^{x-1}+3 $..

[mod_2]

Non necessariamente $ 2^{x-1}+3 |11 $...piuttosto $ 11|2^{x-1}+3 $..

oooooooooooops....si l'ho scritto all'incontrario...

[FeddyStra]

Riscrivo l'equazione come $ 2^x=5+11^y $.

Considero il caso $ y=0 $.
$ 2^x=5+1=6 $, impossibile.

Considero il caso $ y=1 $.
$ 2^x=5+11=16 $, da cui $ x=4 $.
Quindi una soluzione è $ (4,1) $.

Assumo ora$ y>1 $ e di conseguenza $ x>4 $.
Da $ 2^x=5+11^y $ deduco che $ x \equiv 4 $ $ $$(mod 10)$$ $, quindi $ x $ è pari.
Pongo allora $ x=2k $ e l'equazione iniziale diventa $ 4^k=5+11^y $.

Lascio a qualcun altro la possibilità di continuare da qui.

[julio14]

Da $ 2^x=5+11^y $ deduco che $ x \equiv 4 $

?
Se sei andato per casi, per y pari x dispari (in modulo 2: $ 1+(-1)^{2k}=2 $), altrimenti che ragionamento hai fatto?

[FeddyStra]

che ragionamento hai fatto?

Guardi le potenze di $ 2 $ modulo $ 11 $ e sai che $ 2^{10+x}\equiv 2^x $ (Fermat).

EDIT: chiarisco meglio...

Tu sai che $ \displaystyle 2^x = 5 +11^y $, da cui $ 2^x \equiv 5 $ $ $$(mod 11)$$ $.
Analizzi le potenze di $ 2 $ modulo $ 11 $.
$ \displaystyle 2^1 \equiv 2 $,
$ \displaystyle 2^2 \equiv 4 $,
$ \displaystyle 2^3 \equiv 8 $,
$ \displaystyle 2^4 \equiv 5 $,
$ \displaystyle 2^5 \equiv 10 $,
$ \displaystyle 2^6 \equiv 9 $,
$ \displaystyle 2^7 \equiv 7 $,
$ \displaystyle 2^8 \equiv 3 $,
$ \displaystyle 2^9 \equiv 6 $,
$ \displaystyle 2^{10} \equiv 1 $.
Inoltre, il Piccolo Teorema di Fermat ti dice che $ 2^{\phi (11) +x}\equiv 2^x $, cioè $ 2^{10 +x}\equiv 2^x $.
Da questo deduci che gli esponenti per i quali la potenza di $ 2 $ è congrua a $ 5 $ modulo $ 11 $ sono quelli congrui a $ 4 $ modulo $ \phi (11)=10 $, quindi $ x \equiv 4 $ $ $$(mod 10)$$ $.

[Febo]

alura, provo a finire il lavoro di Feddy:

$ 4^k=11^y+5 $

Per k=1 no soluzione, k=2 y=1 e' soluzione. Supponiamo $ k\ge 3 $. Ma allora $ 11^y\equiv -5\pmod{64} $, dunque $ y\equiv 13 \pmod{16} $ quindi $ 11^y\equiv 7\pmod{17} $ per cui $ 4^k\equiv 12\pmod{17} $ che e' assurdo (le potenze di 4 fanno 4, 16, 13, 1, 4, 16, 13, 1, 4... mod 17).

Quindi x=4, y=1 e' l'unica soluzione..

edit: si eucla, c'hai ragione, ma era solo un errore di battitura, facendo i conti avevo scritto il segno giusto, mi pare che la dimo torna...

[EUCLA]

Sarò stanca ma non dovrebbe esser $ 11^y\equiv -5 (\mod 64) $?

edit:ci sto lavorando anch'io sperando che non ci siano altre sol oltre alla banale

[Pigkappa]

$ 11^y\equiv -5\pmod{64} $, dunque $ y\equiv 13 \pmod{16} $

Questo c'è un modo di vederlo senza troppi conti?

[EUCLA]

Ok. Posto la mia soluzione.
Riparto da $ 2^x=11^y+5 $
Date le mie speranze che non esistan di soluzioni diverse dalla banale metto $ x\geq5 $.
E spero che non sia vero che $ 11^y+5 \equiv 0 (\mod 2^{5}) $.
Modulo miei errori le congruenze di $ 11^y \mod 32 $ sono $ 11 \ -7\ -13\ 15\ 5\ 9\ 3\ 1 $ mentre a noi serviva che fosse $ -5 $. Da qui consegue che $ x<5 $ ma sappiamo che $ 2^x \geq 16 $. Quindi $ (4,1) $ è l'unica soluzione.

[marco-daddy]

Ok a febo

@EUCLA: $ 11^y\equiv-5 \pmod{32} $ ha soluzioni con $ y\equiv 5 \pmod{8} $

@Feddy: Per dimostrare che x è pari (ed anche multipla di 4) basta vedere l'equazione iniziale mod 5

Il problema si può risolvere anche senza fare i conti con i moduli...

[EUCLA]

Si..giusto...avevo sbagliato un segno...Infatti per $ x \equiv 4 (\mod8) $ è -15 e non 15 come ho scritto