Uh, le serie complesse (in ambo i sensi)(*)

[killing_buddha]

E' curiosità, più che altro perchè è la prima volta che noto un problema per caso, e -zac!- riesco a dimostrarlo (eufemisticamente) in poco tempo:

Abbiamo due funzioni definite come limite di serie di potenze:

$ \displaystyle f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n $
con raggio di convergenza $ R_f~ $
$ \displaystyle g(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n z^n $
con raggio di convergenza $ R_g~ $
Sappiamo che esiste un $ \delta>0~ $, $ \delta < \min(R_f, R_g) $ tale che sulla palla di centro 0 e raggio $ \delta B(0, \delta[~ $ si ha $ f(z) = g(z) ~ $
Dimostrare che allora $ ~a_n = b_n \forall n\in\mathbf{N} $


Ora, se prendiamo $ w\in\mathbf{C} $ tale che $ |w| < \delta~ $ le serie convergno entrambe:
$ \displaystyle f(w) = \sum_{n=0}^\infty a_n w^n $
$ \displaystyle g(w) = \sum_{n=0}^\infty b_n w^n $
sappiamo che nella palla f=g quindi
$ \displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n w^n = \sum_{n=0}^\infty b_n w^n $
ora c'è il passaggio che non so se è rigoroso... per il principio di identità dei polinomi deve aversi che $ a_n = b_n~ $ per ogni n, quindi sembra fatta. Ma si può applicare tale principio anche se la somma è infinita?


(*) ok, ok, non era difficile. Però è la prima cosa che mi chido "uhm, come si dimostrerà?" e riesco almeno ad avere un'idea...

[edriv]

Hai osservato che dimostrare questo teorema equivale a dimostrare una specie di principio di identità dei polinomi... per polinomi infiniti. Ma non è che rienunciandolo l'hai risolto

Una forma più forte è: se due serie di potenze coincidono in un insieme di reali che ha un punto limite, allora sono la stessa serie.
Questo è chiaramente equivalente a: se l'insieme degli zeri di una serie di potenze ha un punto limite, allora quella serie è 0. (io considero solo zeri di R che coi complessi ancora non mi trovo benissimo )

Dimostrazione:
Sia x un punto limite dell'insieme degli zeri di f(z). Ora, usando bene il teorema del valor medio, non è difficile vedere che anche l'insieme degli zeri di f'(z) si accumula in x. Quindi, andando per questa strada, e sfruttando il fatto che la funzione e tutte le sue derivate sono continue (quindi il luogo degli zeri è chiuso), vediamo che in x si annulla sia f sia tutte le sue derivate.
Se |x| < R dove R è il raggio di convergenza, possiamo riscrivere f come serie di potenze "attorno ad x", e visto che le derivate ennesime ci danno i coefficienti ennesimi, vediamo che f è nulla.

(nella mia dimostrazione ho indebolito un po' l'ipotesi, aggiungendo che il punto di accumulazione è dentro il raggio di convergenza, e considerando solo i reali... però basta ancora per la domanda originale di killing_buddha)

[ma_go]

un'altra idea abbastanza tipica che si può applicare qui è questa: chiamiamo $ m=\min\{k\,|\,a_k\neq b_k\} $, cosa possiamo dire su $ \lim_{z\to 0} \frac{f(z)-g(z)}{z^m} $? ups..