Criterio del rapporto

[Russell]

Non riesco a dimostrare il secondo punto del seguente famosissimo Teorema...
Non ho molti libri al momento da consultare e non sono riuscito a trovare una risposta soddisfacente nemmeno sul web...

CRITERIO DEL RAPPORTO
Sia $ \left\{x_n\right\}_n $ una successione numerica. Tale successione è infinitesima (cioè $ \displaystyle \lim_n x_n=0 $ se una delle seguenti condizioni è soddisfatta:

1) $ \displaystyle \exists \ \ \ 0<b<1 $ tale che $ \displaystyle |{\frac{x_{n+1}}{x_n}}|<b \ \ \forall n $
2) $ \displaystyle \lim_n |{\frac{x_{n+1}}{x_n}}|<1 $

Ringrazio anticipatamente chiunque mi darà una mano!
P.S. E' piuttosto urgente!

[pic88]

ma la seconda condizione non significa semplicemente che da un certo punto in poi quel rapporto sarà minore di 1?

[FrancescoVeneziano]

Se hai dimostrato il primo punto il secondo non dovrebbe dare problemi...
Se il limite (chiamiamolo L) è minore di 1 vuol dire che $ ~ \left|\frac{x_{n+1}}{x_n}\right| $ è definitivamente minore di ogni b con $ ~ 0\leq L<b<1 $ e quindi puoi usare il punto 1 per concludere (trascurando un numero finito di termini iniziali della successione).

[Russell]

Ok! Grazie....avevo fatto un po' di confusione!