Proprietà dei numeri di Fibonacci

[Andre_tenplus]

Sia $ F_n $ la successione dei numeri di Fibonacci così definita:

$ F_0 = 0, F_1 = 1, F_{n+1} = F_n + F_{n-1} $
Sia $ C_{n,k} $ il coefficiente binomiale "n su k", cioè il numero di combinazioni di n elementi presi k a k.

Dimostrare che per ogni $ n \geq 0 $ si ha:
$ \sum^n_{k=0} C_{n,k} F_{k+1} = F_{2n+1} \sum^n_{k=0} C_{n,k} F_{k} = F_{2n} $

Ho provato con l'induzione e, usando la legge di Stiefel, per i coefficienti binomiali ho dimostrato che se è vera l'una è vera anche l'altra, ma non riesco a dimostrare l'una senza supporre vera l'altra..grazie a chi mi risponderà...

[darkcrystal]

Faccio la seconda sperando che la prima sia uguale

Premessa: $ \sum {n \choose k}a^k = (a+1)^n $ (Binomio di Newton)

$ \displaystyle \sum {n \choose k}F_k = \frac{1}{\sqrt{5}} \sum {n \choose k} \left( \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \right) $$ \displaystyle = \frac{1}{\sqrt{5}}\left( \left( \frac{3 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left( \frac{3 - \sqrt{5}}{2}\right)^n \right) $$ \displaystyle =\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{2n} - \left( \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{2n} \right)=F_{2n} $

Ciau!

EDIT: mancava un radice di 5

[Andre_tenplus]

Si ho capito...non ci avevo pensato a usare la formula chiusa..fino a ora per dimostrare le proprietà dei numeri di fibonacci non l'avevo mai usata..
Grazie mille..

[!!Alberto!!]

Può essere risolto più semplicemente per induzione. Utilizzando la formula ricorsiva dei coefficienti binomiali...