La convergenza dei cerchi in un triangolo equilatero

[mod_2]

Questa è bella...

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

è evidente che due cerchi consecutivi sono omotetici con centro nel vertice di convergenza e fattore $ \frac{1}{3} $. Quindi se chiamiamo r l'inraggio avremo che la somma delle aree dei cerchi che convergono in un vertice sarà:

$ \displaystyle \pi r^2 \cdot \sum_{i=0}^\infty {\frac{1}{9^i}} = \pi r^2 \frac{1}{1- \frac{1}{9}} = \frac{9}{8} \pi r^2 $

quindi moltiplicando per 3 e sottraendo due volte l'area dell'incerchio e sostituendo $ \displaystyle r = l \frac{\sqrt{3}}{6} $ otteniamo la somma cercata

$ \displaystyle S = \left ( 3 \cdot \frac{9}{8} - 2 \right )\pi r^2 = \frac{11}{8}\pi r^2 = \frac{11}{96} \pi l^2 $

$ \displaystyle K = \frac{S}{A} \cdot 100 = \frac{\frac{11}{96}}{\frac{\sqrt{3}}{4}} \pi \cdot 100 = \frac{1100 \cdot \sqrt{3} \cdot \pi}{72} \sim 83 $%

[Agi_90]

Be', sappiamo che il baricentro divide la mediana (che qui è anche altezza e bisettrice) in due parti di rapporto 1:2, quindi l'area del cerchio più grande è: $ \displaystyle {\left (\frac{1}{3} \frac{\sqrt{3}}{2} l \right )}^2 \pi $. Consideriamo ora il triangolino che ha per altezza la differenza tra l'altezza del triangolo grande e il diametro del cerchio grande, abbiamo che in esso il raggio del secondo cerchio è $ \displaystyle \frac{1}{3} $ dell'altezza del triangolino e quindi $ \displaystyle \frac{1}{9} $ dell'altezza totale. Allo stesso modo operiamo per tutti i triangolini successivi, abbiamo quindi che l'area è data dalla somma:

$ \displaystyle 3 \cdot \sum_{x=2}^\infty \left (\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^x} \right )^2 \pi + \frac{1}{12} \pi $

la quale è uguale a:

$ \displaystyle \frac{9}{4} \pi \cdot \sum_{x=2}^\infty \left (\frac{1}{9^x}\right )+ \frac{1}{12} \pi $

se non ho cannato qualcosa la sommatoria è uguale a $ \displaystyle \frac{1}{72} $ quindi l'area cercata è:

$ \displaystyle \frac{11}{96} \pi $

da cui la percentuale.

EDIT: avevo sbagliato nel calcolo dell'area dei triangolini, maldette potenze ( )

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

$ \displaystyle \sum_{x=1}^\infty \left (\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^x} \right )^2 \pi + \frac{1}{12} \pi $

questa dovrebbe essere

$ \displaystyle \sum_{x=1}^\infty \left (\frac{\sqrt{3}}{6 \cdot 3^x} \right )^2 \pi + \frac{1}{12} \pi = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8}\pi + \frac{1}{12} \pi = \frac{11}{96} \pi $

[Agi_90]

$ \displaystyle \sum_{x=1}^\infty \left (\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^x} \right )^2 \pi + \frac{1}{12} \pi $

questa dovrebbe essere

$ \displaystyle \sum_{x=1}^\infty \left (\frac{\sqrt{3}}{6 \cdot 3^x} \right )^2 \pi + \frac{1}{12} \pi = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8}\pi + \frac{1}{12} \pi = \frac{11}{96} \pi $

giàgià corretto