La convergenza dei cerchi in un triangolo isoscele

[mod_2]

Un altro simpatico problema...

[flexwifi]

Con semplici formule trigonometriche e relazioni di similitudine si puo' dimostrare che due cerchi consecutivi sono omotetici con centro nel vertice di convergenza e fattore $ \displaystyle \frac{1-\sin(\frac{\alpha}{2})}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})} $
Quindi se chiamiamo r l'inraggio avremo che la somma delle aree dei cerchi che convergono nel vertice C sarà:
$ \displaystyle S_{cerchi}=\pi r^2 \cdot \sum_{n=0}^\infty[\frac{1-\sin(\frac{\alpha}{2})}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})}]^{2n}=\pi r^2 \cdot \frac{1}{1- \frac{[1-\sin(\frac{\alpha}{2})]^2}{[1+\sin(\frac{\alpha}{2})]^2}}= $
$ =\pi r^2 \cdot \frac{[1+\sin(\frac{\alpha}{2})]^2}{4\sin(\frac{\alpha}{2})} $
Sostituendo $ \displaystyle r=\frac{l}{2} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{1+\sin(\frac{\alpha}{2})} $ otteniamo:
$ \displaystyle S_{cerchi}=\pi \frac{l^2}{16} \cdot \frac{\cos^{2}(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $
La superficie del triangolo invece e':
$ \displaystyle S_{triangolo}=\frac{l^2}{4} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\frac{\alpha}{2})} $
Quindi il rapporto tra le aree vale:
$ \displaystyle \frac{S_{cerchi}}{S_{triangolo}}= \pi \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{4} $
da cui, moltiplicando per 100, si puo' ricavare la percentuale richiesta al variare di $ \displaystyle \alpha $
Bye