India MO 1994

[alexlor8083]

$ \begin{document} Sia \ \ $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ una funzione tale che: $1) f(-x)=-f(x)$, $\forall x \in \mathbb R$, $2) f(x+1)=f(x)+1$, $\forall x \in \mathbb R$, $3) f(\frac{1}{x})=\frac{f(x)}{x^2}$ $\forall x \in \mathbb R$, $x \neq 0$. Si provi che $f(x)=x$, $\forall x \in \mathbb R$. \end{document} $

[EUCLA]

Allora...

Possiamo costruire la funzione su $ \mathbb{N} $ semplicemente reiterando la (2);
Sfruttando la (1) arriviamo a costruirla su $ \mathbb{Z} $;
infine la (3) ci permette di costruirla su $ \mathbb{Q} $...
domandone...e su $ \mathbb{R} $?

[edriv]

Partendo dall'identità algebrica:
$ \displaystyle - \frac{1}{\frac{1}{x+1} - 1} = \frac 1x + 1 $,
prendendo la f da entrambe le parti, applicando assiduamente le ipotesi su f, vi assicuro che ottenete che:
$ ~ 2f(x) = (x+1)^2 - x^2 - 1 $
$ ~ f(x) = x $