Probabilitò semplice

[Pigkappa]

È sicuramente semplice ma mi sono bloccato su questo...


In un contenitore ci sono infinite palline. È noto che ogni pallina ha 1/4 di probabilità di essere gialla. Se il disgraziato professor Abacus prende 6 palline, qual è la probabilità che almeno 3 di esse siano gialle?

[g1org1o]

1/4 x 1/4 x 1/4 x 1 x 1 x 1. penso... magari lo sto sottovalutando ops

ma la probabilità della pallina a ogni pescata scende o sale dipendendo dal fatto di quante gialle e altro colore siano uscite in precedenza...
se così fosse uscirebbe 1/4 x (infinito/4 -1) x (infinito/4 -2) x 1 x 1 x 1

e poi bisogna interpretare il fatto di

il disgraziato professor Abacus

[Pigkappa]

Se fosse 1/4 x 1/4 x 1/4 x 1 x 1 x 1 la probabilità non dipenderebbe dalle palline che si tirano su e questo si capisce che non è sensato, quindi non credo... "Il disgraziato professor Abacus" lascialo stare . Considera che ogni pallina ha sempre 1/4 di probabilità di essere gialla al momento dell'estrazione, quindi il colore non dipende dalla pallina precedente...

[g1org1o]

quindi che ne escan almeno 3gialle è 1/64

[Pigkappa]

Non penso sia così... Ragionando così, se tirassi fuori 100 palline, sarebbe

1/4 * 1/4 * 1/4 * 1 * 1 * 1 * 1 * 1...

Cioè sempre 1/64, quindi non credo vada bene. 1/64 è la probabilità che tre palline su tre siano gialle

[MaMo]

Si utilizza la distribuzione binomiale:

$ \displaystyle P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} $

Si ha n = 6 e p = 1/4 per cui:

$ \displaystyle P_6(3)=\binom{6}{3}\frac{3^3}{4^6}=20\frac{3^3}{4^6} $

$ \displaystyle P_6(4)=\binom{6}{4}\frac{3^2}{4^6}=15\frac{3^2}{4^6} $

$ \displaystyle P_6(5)=\binom{6}{5}\frac{3}{4^6}=6\frac{3}{4^6} $

$ \displaystyle P_6(6)=\binom{6}{6}\frac{1}{4^6}=\frac{1}{4^6} $

Si ha dunque:

$ \displaystyle P_6(3)+P_6(4)+P_6(5)+P_6(6)=\frac{694}{4^6}=0,1694 $

[zancus]

A proposito di distribuzione binomiale... non riesco a dimostrare questo:
$ $\sum_{\nu=0}^{n}{{n}\choose{\nu}}p^\nu q^{n-\nu}=1$ $ sapendo che$ $p+q=1$ $

[Pigkappa]

A proposito di distribuzione binomiale... non riesco a dimostrare questo:
$ $\sum_{\nu=0}^{n}{{n}\choose{\nu}}p^\nu q^{n-\nu}=1$ $ sapendo che$ $p+q=1$ $

$ $\sum_{\nu=0}^{n}{{n}\choose{\nu}}p^\nu q^{n-\nu}= (p+q)^{\nu} $

(binomio di newton)

[jordan]

mipermetto di rispondere...
x mamo..semplice e perfetto.
x zancus, sai ke cos'è il binomio di newton???
psè quello ke hai scritto

[jordan]

x pigkappa..dopo quel problema su tdn ke hai postato e sono già due giorni ke ci perdo..mi sorprendi davvero con questo

[zancus]

$ $\sum_{\nu=0}^{n}{{n}\choose{\nu}}p^\nu q^{n-\nu}= (p+q)^{\nu} $

(binomio di newton)

Si ok, fin qui tutto a posto. Mi chiedevo però come risalire a $ $(p+q)^\nu$ $ tramite calcoli aritmetici, senza sfruttare la definizione di binomio di newton.

[jordan]

infatti NON è una definizione, serve solo sapere cosè il coefficiente binomiale..

[zancus]

Scusate, mi ero dimenticato che esiste anche wikipedia! Problema risolto!
Grazie lo stesso!