chiusi e aperti

[piazza88]

come faccio a stabilire se il seguente sottoinsieme della retta reale è chiuso o aperto o nessuno dei due?
$ \{m*10^{-k}: m,k\in\mathbb{Z}\} $
a me così a occhio sembrerebbe nè chiuso nè aperto, ma non riesco a dimostrarlo

[EvaristeG]

Beh, un aperto che contenga un punto, contiene un intervallo aperto attorno al punto, ma quindi contiene taaaaanti punti; questo insieme quanti elementi ha?
Inoltre, credo che 0, 0.1, 0.11, 0.111 etc appartengano all'insieme, ma vi appartiene anche 0.111...?

[SkZ]

se ben ricordo un insieme e' aperto se contiene un intorno di ogni suo punto
ovvero
$ $\forall x\in X\subset \mathbb{R} \; \exists \epsilon>0 : B(x,\epsilon[ \subset X$ $