Somma di una riga

[Alex89]

Supponiamo di prendere i naturali e di disporli in questo modo:
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
....

Calcolare la somma dei numeri presenti sulla n-esima riga.

[Alex89]

aspetta sulla seconda riga la somma è 6+7+8+9+10+11=51 mentre con la tua formula è 40... ma anche sulle altre nn torna...

[albert_K]

mi sa che devi guardare meglio come sono scritte le righe...

[jordan]

basta osservare che per la riga n'esima l'ultimo termine è pari alla sommatoria degli (4+i) per ogni i intero che va 1 a n, mentre il primo termine è pari al successivo dell'ultimo termine della riga (n-1).
imponendo la sommatoria dal primo all'ultimo termine dell'n-esima riga otteniamo

S(n)= n(n^2+29)/2 +6(n^2-1)

bye
paolo

[Jonny Tendenza]

O anche, equivalentemente, si osserva che la prima riga possiede 5 elementi, la seconda 6 elementi, la terza 7 elementi, ..., l'$ ~n $- esima $ ~n+4 $ elementi. Chiamiamo $ ~e_n $ il numero di elementi dell'$ ~n $- esima riga, sarà $ ~e_n=n+4 $

La prima riga inizia per 1, la seconda per 6, cioè il numero di elementi della prima riga aumentato di uno, la terza per 12, cioè la somma del numero degli elementi della prima e della seconda riga aumentato di uno, ..., l'$ ~n $- esima riga inizierà quindi per un numero che è la somma del numero degli elementi di tutte le righe precedenti aumentato di uno. Chiamiamo $ ~a_n $ il numero iniziale della riga $ ~n $- esima, sarà:

$ \displaystyle a_n=1+ \sum_{i=1}^{n-1} e_i = 1+ \sum_{i=1}^{n-1} (i+4) = 1+4(n-1)+ \sum_{i=1}^{n-1} i= $
$ \displaystyle =1+4(n-1)+\frac {n(n-1)}{2}= \frac {n^2+7n-6}{2} $

La prima riga finisce per 5, la seconda per 11, perchè sarebbe il numero iniziale della riga presa in cosiderazione $ ~(a_2=6) $, aumentato del numero di elementi della riga precedente $ ~(e_1=5) $. Quindi si trova che la terza riga finirà per 18 $ ~(a_3+e_2=12+6) $. L'$ ~n $- esima riga finirà quindi per un numero che è la somma del termine iniziale di tale riga e del numero di elementi della riga precedente. Cioè, indicando con $ ~z_n $ il termine conclusivo dell'$ ~n $- esima riga, si ha:

$ \displaystyle z_n=a_n+e_{n-1}= \frac{n^2+7n-6}{2}+(n-1)+4=\frac{n^2+9n}{2} $

Quindi l'$ ~n $- esima riga avrà come primo elemento $ ~a_n $ e come ultimo elemento $ ~z_n $. Detta $ ~S_n $ la somma dei numeri della riga $ ~n $- esima, si ha:

$ \displaystyle S_n=\sum_{i=a_n}^{z_n} i=\frac {(z_n+a_n)(z_n-a_n+1)}{2} $

Ma
$ ~z_n=a_n+e_{n-1}\rightarrow e_{n-1}=z_n-a_n $
$ ~e_{n-1}=(n-1)+4=(n+4)-1=e_n-1 $
Quindi
$ ~z_n-a_n=e_n-1 \rightarrow z_n-a_n+1=e_n $
Allora

$ \displaystyle S_n=\frac {e_n(z_n+a_n)}{2} $

Sostituendo le definizioni di $ ~e_n $, $ ~a_n $ e $ ~z_n $, troviamo:

$ \displaystyle S_n= \frac {(n+4)[( \frac {n^2+9n}{2})+( \frac {n^2+7n-6}{2})]}{2}= \frac {(n + 4)(n^2+8n-3)}{2} $

Che è lo sviluppo e la fattorizzazione della formula trovata da jordan.

@ms88: il ragionamento funziona se i numeri fossero messi così:

$ \begin{array}{ccccccc} \mbox{1 - riga} & \rightarrow & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \mbox{2 - riga} & \rightarrow & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \mbox{3 - riga} & \rightarrow & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \mbox{n - riga} & \rightarrow & 5n-4 & 5n-3 & 5n-2 & 5n-1 & 5n \end{array} $

Infatti, sommando tutti i temini dell'$ ~n $- esima riga, si ha:

$ ~(5n-4)+(5n-3)+(5n-2)+(5n-1)+5n=25n-10 $

La formula $ ~25n+15 $ equivale a $ ~25n-10 $ ponendo in quest'ultima $ ~n \rightarrow (n+1) $:

$ ~25n-10 \stackrel{n \rightarrow (n+1)}{\longrightarrow} 25(n+1)-10 =25n+25-10=25n+15 $

Ciao!

[moebius]

Chi poteva prevedere che un problema del genere avrebbe sodomizzato così il compilatore del tex

[jordan]

odio questi esercizi, è meccanicità pura