Sono un po in difficolta con questo problema:
Trova il piu piccolo intero tale che ripetendo le sue cifre due volte si ottiene un quadrato. ( cioe' 123 --> 123123, 5646--> 56465646)
Quadrato a cifre ripetute.
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ttommy8488
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i numeri di composti da una stringa di n cifre ripetuta due volte (in totale 2n cifre) sono tutti gli interi $ $m(10^n+1)$ $ dome m è un qualsiasi intero di n cifre.
11 e 101 son primi, 1001=7*11*13 (e quindi non esistono interi di tre cifre che dividano tutti quei tre), 10001=73*137 (stesso discorso), 100001 = 11 × 9091 (idem con patate),1000001 = 101 × 9901 (vedi sopra), 10000001 = 11 × 909091 (non sono autistico, sto usando Factoris), 100000001 = 17 × 5882353, 1000000001 = 7 × 11 × 13 × 19 × 52579, 10000000001 = 101 × 3541 × 27961, 100000000001 = 11^2 × 23 × 4093 × 8779 ...... uhm qui l'11 compare due volte quindi posso considerare il numero 23*4093*8779 = 826446281 di 9 cifre; ora mi basta moltiplicare tale numero per il più piccolo quadrato (ma minore di 11^2) tale da aumentare di due le sue cifre. Scopro facilmente che tale quadrato è 4^2 e $ $ m = 13223140496 = 4^2 \cdot 23\cdot 4093 \cdot 8779 $ è quindi il minore intero che soddisfa quella proprietà. Per la cronaca, $ $ \sqrt{1322314049613223140496}= 36363636364 $ $.
Senza computer non so proprio come si possa fare.
11 e 101 son primi, 1001=7*11*13 (e quindi non esistono interi di tre cifre che dividano tutti quei tre), 10001=73*137 (stesso discorso), 100001 = 11 × 9091 (idem con patate),1000001 = 101 × 9901 (vedi sopra), 10000001 = 11 × 909091 (non sono autistico, sto usando Factoris), 100000001 = 17 × 5882353, 1000000001 = 7 × 11 × 13 × 19 × 52579, 10000000001 = 101 × 3541 × 27961, 100000000001 = 11^2 × 23 × 4093 × 8779 ...... uhm qui l'11 compare due volte quindi posso considerare il numero 23*4093*8779 = 826446281 di 9 cifre; ora mi basta moltiplicare tale numero per il più piccolo quadrato (ma minore di 11^2) tale da aumentare di due le sue cifre. Scopro facilmente che tale quadrato è 4^2 e $ $ m = 13223140496 = 4^2 \cdot 23\cdot 4093 \cdot 8779 $ è quindi il minore intero che soddisfa quella proprietà. Per la cronaca, $ $ \sqrt{1322314049613223140496}= 36363636364 $ $.
Senza computer non so proprio come si possa fare.
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ttommy8488
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