un esercizio facile sui gruppi:
Sia G un gruppo, ~ una relazione di equivalenza tra i suoi elementi tale che $ ~ a \sim b, c \sim d \Rightarrow ac \sim bd $. Dimostrare che ~ definisce naturalmente un omomorfismo di G.
(è chiaro che cosa vuol dire "naturalmente" lo dovete interpretare voi...)
Relazioni di equivalenza e omomorfismi di gruppo
L'ipotesi implica che nell'insieme quoziente sia ben definita un'operazione prodotto indotta da quella di G, ovvero possiamo definire (indico con delle parentesi graffe la classe di equivalenza relativa ad un elemento di G) $ \{a \}* \{ b \}=\{ ab \} $. Questa operazione è ben definita poichè se $ a' \sim a, b' \sim b \implies a'b' \sim ab \implies \{ab \} = $$ \{ a'b' \} \implies \{a \}* \{ b \}= \{a' \}* \{ b' \} $. Si dimostra facilmente che l'insieme quoziente è un gruppo rispetto a questa operazione. Allora l'omomorfismo indotto naturalmente da $ \sim $ è quello canonico sul gruppo quoziente, ovvero l'omomorfismo $ \phi : G \rightarrow G/ \sim $ t.c. $ \phi(a)=\{a\} \forall a \in G $
O, figheggiando un poco, basta vedere che
$ N=\{g\in G\vert g\sim e\} $
è un sottogruppo normale. Infatti
$ e\in N $ ovviamente e
se $ a\in N,\ b\in N $ allora $ a\sim e,\ b\sim e $ e dunque $ ab\sim e $ ovvero $ ab\in N $. Idem per l'inversa.
Del resto, dato $ h\in G $ si ha $ hgh^{-1}\sim heh^{-1}\sim e $ per ogni $ g\in N $.
E, come ognun sa, c'è corrispondenza biunivoca naturale tra gli omomorfismi di G in un qualunque altro gruppo, i quozienti di G e i sottogruppi normali di G.
$ N=\{g\in G\vert g\sim e\} $
è un sottogruppo normale. Infatti
$ e\in N $ ovviamente e
se $ a\in N,\ b\in N $ allora $ a\sim e,\ b\sim e $ e dunque $ ab\sim e $ ovvero $ ab\in N $. Idem per l'inversa.
Del resto, dato $ h\in G $ si ha $ hgh^{-1}\sim heh^{-1}\sim e $ per ogni $ g\in N $.
E, come ognun sa, c'è corrispondenza biunivoca naturale tra gli omomorfismi di G in un qualunque altro gruppo, i quozienti di G e i sottogruppi normali di G.
La mia soluzione era diversa da entrambe... dati due sottoinsiemi $ ~ A,B \subset G $ posso comunque definire $ ~ AB = \{ab | a \in A, b \in B\} $. Quindi date due classi di equivalenza A,B definisco AB proprio come prima. Resta da far vedere che anche AB è una classe di equivalenza, che si fa proprio sfruttando l'ipotesi che la relazione "passa attraverso" il prodotto. Fatto questo, far vedere che {a}{b}={ab} è banale.