Uova

[Olimpe19]

Un fattore vende p/q delle proprie uova + p/q di un uovo al suo primo cliente, p/q delle rimanenti + p/q di un uovo al suo secondo cliente, e così di seguito, finchè tutte le uova non siano state vendute a n clienti. Trovare le relazioni necessarie e sufficienti tra p, q, n.

[jack202]

Immagino che n,p e q siano numeri
<BR>interi, e p,q siano numeri primi tra loro.
<BR>Inoltre è necessario che sia p<q.
<BR>Detto x il numero di uova iniziale,
<BR>e t il rapporto p/q , abbiamo
<BR>
<BR>n = 1
<BR>x = t x + t
<BR>
<BR>n = 2
<BR>x = (t - t^2) x + (t - t^2)
<BR>
<BR>n = 3
<BR>x = (t - t^2 + t^3) x + (t - t^2 + t^3)
<BR>
<BR>isolando la t nel secondo addendo,
<BR>moltiplicando tutto per (t+1)
<BR>[v. \"moltiplicazione telescopica\"] e
<BR>generalizzando otteniamo
<BR>
<BR>x = t * (1 + t^n) / (1 - t^(n+1))
<BR>
<BR>ovvero
<BR>
<BR>x = p (q^n + p^n) / (q^(n+1) - p^(n+1))
<BR>
<BR>per oggi mi fermo qui... domani dimostro
<BR>che q-p può essere solo 1 o 2...
<BR>