qualcuno mi sa dire quale è (se esiste) e perchè esiste il
$ \displaystyle\lim_{x\rightarrow\pi} sin(x) $ in topologia di zariski?
ciao
topologia di zariski
Allora la funzione rimane continua (diminuendo gli aperti in arrivo, essere continui diventa più facile). Pertanto il limite è il valore nel punto.piazza88 ha scritto:solo in arrivo,
Tendere è un concetto topologico, quindi non vedo problema a tendere.piazza88 ha scritto:altrimenti non ho idea di come potrebbe x tendere a $ \pi $
Ho detto una grossa stupidaggine 
(strano che nessuno me l'abbia fatto notare, si vede che questo topic non interessa nessuno...).
Mettendo la zariski in partenza il limite non dovrebbe più esistere, sia che in arrivo ci sia l'euclidea, sia che ci sia la zariski.
A questo punto rilancio: e se la funzione fosse $ x^2 $?
(strano che nessuno me l'abbia fatto notare, si vede che questo topic non interessa nessuno...).
Questo è corretto.Xamog ha scritto:la funzione rimane continua (diminuendo gli aperti in arrivo, essere continui diventa più facile).
Questo non è vero. La cosa corretta è che il limite esiste ed valore nel punto è tra i possibili limiti. In generale però possono esserci anche altri limiti (che non hanno ragione per essere unici). Infatti in tal caso tutti i numeri reali (anche quelli maggiori di 1) sono possibili limiti (se non sto prendendo una nuova cantonata).Xamog ha scritto: Pertanto il limite è il valore nel punto.
Mettendo la zariski in partenza il limite non dovrebbe più esistere, sia che in arrivo ci sia l'euclidea, sia che ci sia la zariski.
A questo punto rilancio: e se la funzione fosse $ x^2 $?
Beh, sistemiamo un po' il tutto:
sia $ f:(X,\sigma)\to (Y,\tau) $ una applicazione tra spazi topologici; sia $ p\in X $. Diciamo che
$ \displaystyle{\lim_{x\to p}f(x)=y\in Y} $
se per ogni $ V $ intorno di y in Y esiste $ U $ intorno di p in X tale che $ f(U\setminus\{p\})\subseteq V $.
Siano ora $ X=Y=\mathbb{R} $ e sia $ \tau $ la topologia di Zariski (che, non essendo di Hausdorff sui reali, non assicura l'unicità del limite). $ \sigma $ è invece l'usuale topologia euclidea. Sia $ f(x)=\sin(x) $.
Sia $ r\in\mathbb{R} $ un numero reale e sia V un suo intorno; ovvero
$ V=\mathbb{R}\setminus\{y_1,\ldots,y_n\} $
con $ y_i\neq r $ per i=1,...,n.
Sia A l'insieme (discreto) delle controimmagini degli $ y_i $ tramite f.
Poichè A è discreto, esiste $ \rho=d(\pi,A\setminus\{\pi\})=\min\{|\pi-x| \vert x\in A,\ x\neq\pi\} $.
Ovviamente $ f((\pi-\rho,\pi+\rho)\setminus\{\pi\}) $ non contiene nessuno degli $ y_i $ e dunque sta in V.
Pertanto, ogni r in R è limite di f(x) per x che tende a pi.
sia $ f:(X,\sigma)\to (Y,\tau) $ una applicazione tra spazi topologici; sia $ p\in X $. Diciamo che
$ \displaystyle{\lim_{x\to p}f(x)=y\in Y} $
se per ogni $ V $ intorno di y in Y esiste $ U $ intorno di p in X tale che $ f(U\setminus\{p\})\subseteq V $.
Siano ora $ X=Y=\mathbb{R} $ e sia $ \tau $ la topologia di Zariski (che, non essendo di Hausdorff sui reali, non assicura l'unicità del limite). $ \sigma $ è invece l'usuale topologia euclidea. Sia $ f(x)=\sin(x) $.
Sia $ r\in\mathbb{R} $ un numero reale e sia V un suo intorno; ovvero
$ V=\mathbb{R}\setminus\{y_1,\ldots,y_n\} $
con $ y_i\neq r $ per i=1,...,n.
Sia A l'insieme (discreto) delle controimmagini degli $ y_i $ tramite f.
Poichè A è discreto, esiste $ \rho=d(\pi,A\setminus\{\pi\})=\min\{|\pi-x| \vert x\in A,\ x\neq\pi\} $.
Ovviamente $ f((\pi-\rho,\pi+\rho)\setminus\{\pi\}) $ non contiene nessuno degli $ y_i $ e dunque sta in V.
Pertanto, ogni r in R è limite di f(x) per x che tende a pi.