dimostrzione elementare
dimostrzione elementare
Ciao a tutti, volevo sapere se potevate farmi vedere come si dimostrava che se A è un sottinsieme di Z (insieme degli interi) ed è superiormente limitato allora esiste il massimo di A. Grazie e ciao
È falso: prendi A={} 
Aggiungendo non vuoto, io farei così.
È chiaro che prendendo -x al posto di x il problema è equivalente a "se A ha una limitazione inferiore allora ha minimo", io preferirò questa enunciazione (per collegarmi al principio del minimo intero).
Sia n una limitazione inferiore di A. Per ogni $ ~ a \in A $ definiamo $ ~ f(a) = a-n $. Siccome $ ~ n \le a $ (per definizione di limitazione inferiore), $ ~ f(a) \ge 0 $ quindi $ ~ f(a) \in \mathbb{N} $ (o a seconda del rigore che chiediamo... appartiene ad un insieme uguale ad N come tipo d'ordine, somma, e quello che si vuole, e quindi vale anche qui il principio di induzione).
L'immagine di A secondo f è un sottoinsieme (non vuoto, poichè A è non vuoto) di N. Per il principio del minimo intero (che può addirittura far parte della definizione di N, quindi non stiamo a contestarlo), esiste un minimo di f(A). Cioè esiste un a tale che, per ogni $ ~ b \in A $, $ ~ f(a) \le f(b) $, ovvero $ ~ a-n \le b-n $, cioè $ ~ a \le b $. Pertanto questo a è il minimo di A.
Aggiungendo non vuoto, io farei così.
È chiaro che prendendo -x al posto di x il problema è equivalente a "se A ha una limitazione inferiore allora ha minimo", io preferirò questa enunciazione (per collegarmi al principio del minimo intero).
Sia n una limitazione inferiore di A. Per ogni $ ~ a \in A $ definiamo $ ~ f(a) = a-n $. Siccome $ ~ n \le a $ (per definizione di limitazione inferiore), $ ~ f(a) \ge 0 $ quindi $ ~ f(a) \in \mathbb{N} $ (o a seconda del rigore che chiediamo... appartiene ad un insieme uguale ad N come tipo d'ordine, somma, e quello che si vuole, e quindi vale anche qui il principio di induzione).
L'immagine di A secondo f è un sottoinsieme (non vuoto, poichè A è non vuoto) di N. Per il principio del minimo intero (che può addirittura far parte della definizione di N, quindi non stiamo a contestarlo), esiste un minimo di f(A). Cioè esiste un a tale che, per ogni $ ~ b \in A $, $ ~ f(a) \le f(b) $, ovvero $ ~ a-n \le b-n $, cioè $ ~ a \le b $. Pertanto questo a è il minimo di A.