Condivido sul forum un esercizio molto carino di Guglielmo:
Determinare una funzione da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $ tale che l'immagine di ogni aperto non vuoto sia R.
Eccone poi un'altro carino:
Determinare una bigezione da $ \mathbb{R}^2 $ in $ \mathbb{R} $
Un po' di funzioni simpatiche
Re: Un po' di funzioni simpatiche
quindi dati $ ~A $ e $ ~B $ sottoinsiemi aperti non vuoti di $ ~\mathbb{R} $ e con intersezione non nullasqrt2 ha scritto:Determinare una funzione da $ \mathbb{R} $ in $ \mathbb{R} $ tale che l'immagine di ogni aperto non vuoto sia R.
$ ~f(A)=\mathbb{R} $, $ ~f(B)=\mathbb{R} $, $ f(A\cup B)=\mathbb{R} $, $ f(A\cap B)=\mathbb{R} $
interessante!
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Software is like sex: it's better when it's free (Linus T.)
membro: Club Nostalgici
Non essere egoista, dona anche tu! http://fpv.hacknight.org/a8.php
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Vediamo se funziona...
prendiamo un numero reale $ x $ in (0,1) e scriviamolo
$ 0,a_1a_2\ldots $
in cifre (fissando un qualche modo per trattare i 9 periodici e simili stupidate).
Ora, distinguiamo due casi
1) vi sono infiniti 7 - allora definiamo $ f(x)=1/2 $
2) vi è un numero finito di 7 - sia allora $ a_k $ l'ultimo 7; consideriamo quindi il numero $ 0,a_{k+1}a_{k+2}\ldots $ e leggiamolo in base 9 utilizzando come cifre $ \{0,1,2,3,4,5,6,8,9\} $. Tale è f(x).
Ad esempio, l'immagine di 0,78 è (0,8) in base 9, ovvero 0+7/9.
Ora, consideriamo un aperto non vuoto di (0,1); questo contiene un intervallo aperto (a,a+e). Consideriamo un numero della forma
$ b=(10k+7)/10^n $ che vi sia contenuto e sia $ \epsilon=\min\{|a-b|,\ |a+e-b|\} $
Sia m intero negativo tale che $ 10^{m+1}<\epsilon $; allora, dato un numero $ \alpha $ di (0,1) con scrittura $ 0,a_1\ldots $ in base 9 con le cifre sopra dette, possiamo considerare
$ x=b+7\cdot10^m+\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty a_k10^{m-k}} $
e si avrà $ f(x)=\alpha $.
Quindi l'immagine di ogni intervallo è tutto (0,1).
Con tangenti e arcotangenti, si ottiene una funzione così fatta su R.
prendiamo un numero reale $ x $ in (0,1) e scriviamolo
$ 0,a_1a_2\ldots $
in cifre (fissando un qualche modo per trattare i 9 periodici e simili stupidate).
Ora, distinguiamo due casi
1) vi sono infiniti 7 - allora definiamo $ f(x)=1/2 $
2) vi è un numero finito di 7 - sia allora $ a_k $ l'ultimo 7; consideriamo quindi il numero $ 0,a_{k+1}a_{k+2}\ldots $ e leggiamolo in base 9 utilizzando come cifre $ \{0,1,2,3,4,5,6,8,9\} $. Tale è f(x).
Ad esempio, l'immagine di 0,78 è (0,8) in base 9, ovvero 0+7/9.
Ora, consideriamo un aperto non vuoto di (0,1); questo contiene un intervallo aperto (a,a+e). Consideriamo un numero della forma
$ b=(10k+7)/10^n $ che vi sia contenuto e sia $ \epsilon=\min\{|a-b|,\ |a+e-b|\} $
Sia m intero negativo tale che $ 10^{m+1}<\epsilon $; allora, dato un numero $ \alpha $ di (0,1) con scrittura $ 0,a_1\ldots $ in base 9 con le cifre sopra dette, possiamo considerare
$ x=b+7\cdot10^m+\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty a_k10^{m-k}} $
e si avrà $ f(x)=\alpha $.
Quindi l'immagine di ogni intervallo è tutto (0,1).
Con tangenti e arcotangenti, si ottiene una funzione così fatta su R.
Perfetto. La mia soluzione era diversa, ma l'idea fondamentale è sempre la stessa: sfruttare la rappresentazione dei numeri reali in due basi diverse.
Per completezza la posto:
Si consideri l'insieme T dei reali t che nella loro rappresentazione decimale presentano definitivamente solo le cifre 0 e/o 1, ma almeno un 1 e non solo 1 definitivamente (ad esempio t=45610,0101..).
Fissato t in T, sia k il più grande esponente di 10 (minore o uguale della parte intera del logaritmo in base dieci di t) tale che le la rappresentazione decimale di t sia costituita solo da 0 e/o 1 a partire dalla cifra "associata" a 10^k (nell'esempio k=1).
Definisco "coda di t" la successione di 0 e/o 1 costituita dalle cifre di t da quella "associata" a 10^k in poi (nell'esempio 100101..).
Definiamo f come la funzione da R in (0,1) che a ogni t in T associa il numero reale in base 2 del tipo 0,"coda di t" (nell'esempio 0,100101..), mentre a tutti gli altri reali associa 0,1 (in base 2).
In questo modo si ha che f è surgettiva (verificatelo se non ne siete convinti).
A questo punto basta considerare la funzione g°f, dove g è la funzione (surgettiva) da (0,1) in R che a x associa $ tan((x-1/2)\pi) $.
g°f è tale che $ g°f(I)=\mathbb{R} $ per ogni intervallo aperto non vuoto $ I $.
Bene, ora buttatevi sulla bigezione da R^2 a R!
Per completezza la posto:
Si consideri l'insieme T dei reali t che nella loro rappresentazione decimale presentano definitivamente solo le cifre 0 e/o 1, ma almeno un 1 e non solo 1 definitivamente (ad esempio t=45610,0101..).
Fissato t in T, sia k il più grande esponente di 10 (minore o uguale della parte intera del logaritmo in base dieci di t) tale che le la rappresentazione decimale di t sia costituita solo da 0 e/o 1 a partire dalla cifra "associata" a 10^k (nell'esempio k=1).
Definisco "coda di t" la successione di 0 e/o 1 costituita dalle cifre di t da quella "associata" a 10^k in poi (nell'esempio 100101..).
Definiamo f come la funzione da R in (0,1) che a ogni t in T associa il numero reale in base 2 del tipo 0,"coda di t" (nell'esempio 0,100101..), mentre a tutti gli altri reali associa 0,1 (in base 2).
In questo modo si ha che f è surgettiva (verificatelo se non ne siete convinti).
A questo punto basta considerare la funzione g°f, dove g è la funzione (surgettiva) da (0,1) in R che a x associa $ tan((x-1/2)\pi) $.
g°f è tale che $ g°f(I)=\mathbb{R} $ per ogni intervallo aperto non vuoto $ I $.
Bene, ora buttatevi sulla bigezione da R^2 a R!