parti intere di radici malefiche e divisori nani

[salva90]

Trovare tutti gli interi positivi $ n\ge4 $ tali che

$ \left[\sqrt{n}\right]+1|n-1 $ e $ \left[\sqrt{n}\right]-1|n+1 $


good luck

[Pigkappa]

Gli $ \displaystyle n $ cercati sono $ \displaystyle 4, 7, 9, 13, 31 $. Si verifica a mano che soddisfano le due condizioni.

Distinguo due casi:

1)$ \displaystyle n=a^2 $ è un quadrato perfetto. Allora la prima condizione è verificata, la seconda implica:

$ \displaystyle a^2 \equiv -1 \pmod {a-1} $
$ \displaystyle a^2-1 \equiv -2 \pmod {a-1} $
$ \displaystyle 2 \equiv 0 \pmod {a-1} $

Da cui, escludendo i valori che danno $ \displaystyle n < 4 $, $ \displaystyle a=2,3 $ e $ \displaystyle n=4,9 $.

2)$ \displaystyle n = b^2+k $ con $ \displaystyle 0<k<2b+1 $. La prima condizione, tenendo conto che $ \displaystyle [ \sqrt n ] = b $, diventa:

$ \displaystyle b^2-1+k \equiv 0 \pmod {b+1} $
$ \displaystyle k \equiv 0 \pmod {b+1} $
$ \displaystyle k=b+1 $

Allora $ \displaystyle n = b^2+b+1 $ e la seconda condizione implica:

$ \displaystyle b^2+b+2 \equiv 0 \pmod{b-1} $
$ \displaystyle (b^2-1) + (b-1) + 4 \equiv 0 \pmod{b-1} $
$ \displaystyle 4 \equiv 0 \pmod{b-1} $

Da cui, come valori accettabili, $ \displaystyle b=2, 3, 5 $ e quindi $ \displaystyle n = 7, 13, 31 $.