Chiarimenti sui polinomi

[L'ale]

Scorrendo le schede di Gobbino, mi sono sorti dei dubbi sui polinomi:

1) Che cosa si intende quando si parla di "Assegnazione di n+1 valori"? Gobbino dice: Assegnate n+1 coppie di numeri reali (o anche complessi) (a0,b0), (a1,b1),...,(an,bn), esiste un unico polinomio p(x) di grado <= n tale che p(ai)=bi per ogni i=0,1,...,n.
Qualcuno saprebbe spiegarmi in modo più esteso cosa significa?

2) Stessa cosa per l'esistenza di radici reali in un intervallo. Si dice: sia p(x) un polinomio a coefficienti reali, e siano a,b due numeri reali tali che a < b e p(a)*p(b) <0 (cioè il polinomio assume valori di segno discorde agli estremi dell'intervallo [a,b]). Allora esiste almeno una radice reale di p(x) appartenente all'intervallo aperto ]a,b[. Cosa significa questo più precisamente?

3) Cosa sono le divisioni euclidee iterate? E' la divisione fra polinomi?

Grazie dell'aiuto

[edriv]

Assegnare in quel caso fai prima a cercarlo su un dizionario che un libro di matematica, non ha proprio nessun significato astruso.

Semplicemente tu cerchi un polinomio P di grado $ ~ \le n $ e gli dici:
"senti, voglio che in $ ~ a_1 $ il tuo valore sia $ ~ b_1 $, che in $ ~ a_2 $ il tuo valore sia $ ~ b_2 $, ... e che in $ ~ a_{n+1} $ tu assumi il valore $ ~ b_{n+1} $"
Oppure gli dici:
"Ciao P, mi piacerebbe tanto che tu fossi di grado minore o uguale ad n, e che $ ~ P(a_1) = b_1, P(a_2) = b_2, \ldots, P(a_{n+1}) = b_{n+1} $" dove gli $ ~ a_i $ e i $ ~ b_i $ sono valori reali, o addirittura complessi, a tua completa discrezione. L'unica cosa è che gli $ ~ a_i $ devono essere diversi tra loro (perchè non puoi dire a una funzione di assumere due valori diversi nello stesso punto...)

Il teorema enunciato in quel paragrafo dice che, se ti affacci all'insieme dei polinomi a coefficienti reali (o complessi, se hai usato complessi), salterà fuori un unico polinomio che soddisfa le tue richieste.

In quanto alla domanda 2, tu scegli due reali distinti a,b, con $ ~ a < b $.
E hai un polinomio P.
Supponiamo che $ ~ P(a) $ sia negativo e che $ ~ P(b) $ sia positivo. Prova a disegnare il grafico di P. Visto che, andando da a a b, il suo grafico dovrà passare dal basso (sotto la "retta delle x") all'alto (sopra la "retta delle x"), intuitivamente ci sarà almeno un punto in cui intersecherà la retta delle x... cioè un punto c, compreso tra a e b, tale che $ ~ P(c) = 0 $: una radice di P!

Stessa cosa se $ ~ P(a) $ è positivo mentre $ ~ P(b) $ è negativo...

È un po' più chiaro?

[L'ale]

Ottima spiegazione, mi hai illuminato. Grazie infinite!!

[Jenga]

e vai, è il primo post che capisco di questi primi due giorni!
mi rimane la curiosità sul punto 3)