Ciao a tutti... volevo cortesemente chiedervi due cosine.
Prima di tutto volevo sapere come si faceva a trovare il
$ \[\lim_{x \rightarrow 0}
\frac{\[[x]}{x}\] $ dove [x] è la parte intera di x. Poi volevo anche sapere se si riesce a dimostrare che per ogni K intero [x+k] = [x]+k
Grazie e saluti
Parte intera
Per il primo innanzitutto direi che ha un certo limite per $ x \rightarrow 0^{+} $ e un altro per $ x \rightarrow 0^{-} $
Intanto provo con lo $ 0^{+} $. Direi che il limite è zero. Infatti abbiamo che per certi x è verificata $ \displaystyle\frac{[x]}{x}< \epsilon $
Pongo $ [x]=x- \alpha $ ovviamente con $ 0 \le \alpha < 1 $.
Quindi $ \displaystyle \frac{x- \alpha}{x}= 1- \displaystyle \frac{\alpha}{x} $.
$ 1- \epsilon < \displaystyle \frac{\alpha}{x} $.
Posso supporre $ \epsilon < 1 $
$ \displaystyle x < \frac{\alpha}{1-\epsilon} $
e risulta verificato.
Intanto provo con lo $ 0^{+} $. Direi che il limite è zero. Infatti abbiamo che per certi x è verificata $ \displaystyle\frac{[x]}{x}< \epsilon $
Pongo $ [x]=x- \alpha $ ovviamente con $ 0 \le \alpha < 1 $.
Quindi $ \displaystyle \frac{x- \alpha}{x}= 1- \displaystyle \frac{\alpha}{x} $.
$ 1- \epsilon < \displaystyle \frac{\alpha}{x} $.
Posso supporre $ \epsilon < 1 $
$ \displaystyle x < \frac{\alpha}{1-\epsilon} $
e risulta verificato.
Direi invece che $ {\lim_{x\rightarrow 0^{-}}} \displaystyle \frac{[x]}{x}=+ \infty $ ed è verificato se posso trovare un intorno sinistro di 0 in cui le x soddisfino la seguente:
$ \displaystyle \frac{[x]}{x}>M $.
RIfacendo la sostituzione di prima :
$ \displaystyle\frac{[x]}{x}=1- \frac{\alpha}{x}>M $
$ - \displaystyle\frac{\alpha}{x}>M-1 $ (suppongo $ M>1 $)
$ x> \displaystyle\frac{\alpha}{1-M} $ e risulta verificato.
Ovviamente c'è buona probabilità che io abbia sbagliato ed è gradita quindi conferma da qualcuno che lo sa per certo
.
$ \displaystyle \frac{[x]}{x}>M $.
RIfacendo la sostituzione di prima :
$ \displaystyle\frac{[x]}{x}=1- \frac{\alpha}{x}>M $
$ - \displaystyle\frac{\alpha}{x}>M-1 $ (suppongo $ M>1 $)
$ x> \displaystyle\frac{\alpha}{1-M} $ e risulta verificato.
Ovviamente c'è buona probabilità che io abbia sbagliato ed è gradita quindi conferma da qualcuno che lo sa per certo
.per il secondo prova anche a vedere cosa esce fuori se k non è intero, può sempre tornare utile 
[b]Membro Club Nostalgici[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Scusate se vi disturbo ancora ma proprio non riesco a dimostrare il secondo punto partendo dalla definizione di parte intera.
Per quanto riguarda il limite invece io ho pensato di applicare il teorema dei carabinieri sapendo che per x positive vale sempre $ \frac {[x]} {[x]}\le\frac{[x]} {x}\le\frac{x} {x} $ e quindi la funzione tende sempre a 1
Probabilmente però ho sbagliato qualcosa...
Gia che ci sono volevo chiedervi se la funzione parte intera avesse la funzione derivata.
Scusate l'insistenza e grazie di tutto ciao
Per quanto riguarda il limite invece io ho pensato di applicare il teorema dei carabinieri sapendo che per x positive vale sempre $ \frac {[x]} {[x]}\le\frac{[x]} {x}\le\frac{x} {x} $ e quindi la funzione tende sempre a 1
Probabilmente però ho sbagliato qualcosa...
Gia che ci sono volevo chiedervi se la funzione parte intera avesse la funzione derivata.
Scusate l'insistenza e grazie di tutto ciao
lhecemi ha scritto: Per quanto riguarda il limite invece io ho pensato di applicare il teorema dei carabinieri sapendo che per x positive vale sempre $ \frac {[x]} {[x]}\le\frac{[x]} {x}\le\frac{x} {x} $ e quindi la funzione tende sempre a 1
Probabilmente però ho sbagliato qualcosa...
Questa è vera allo stesso modo in cui vale $ \displaystyle \frac{1}{[x]} \le \frac{1}{x} $ e contemporaneamente $ [x]\le x $.
-
mistergiovax
Visto che come al solito finisco per creare casino in quello che dico
vengono in aiuto i suggerimenti di wolverine
che dice (quoto pari pari cosi evito di infilare errori miei nelle cose degli altri):
Parte 1_
Per $ x\to0^+ $, si ha $ [x]=0 $ in un intorno destro di zero e dunque $ \displaystyle\frac{[x]}{x} $ identicamente uguale a zero in quell'intorno (e pertanto anche al limite).
Per $ x\to0^- $, si ha $ [x]=-1 $ in un intorno sinistro di zero e dunque $ \displaystyle\frac{[x]}{x} $ identicamente uguale $ \displaystyle-\frac{1}{x} $ in quell'intorno. Ne segue che il limite sinistro e' $ +\infty $
Parte 2_
Sia $ n=[x] $.
Allora $ n\leq x<n+1 $,
dunque $ n+k\leq x+k< n+k+1 $,
e pertanto $ [x+k]=n+k=[x]+k $.
vengono in aiuto i suggerimenti di wolverine
che dice (quoto pari pari cosi evito di infilare errori miei nelle cose degli altri):
Parte 1_
Per $ x\to0^+ $, si ha $ [x]=0 $ in un intorno destro di zero e dunque $ \displaystyle\frac{[x]}{x} $ identicamente uguale a zero in quell'intorno (e pertanto anche al limite).
Per $ x\to0^- $, si ha $ [x]=-1 $ in un intorno sinistro di zero e dunque $ \displaystyle\frac{[x]}{x} $ identicamente uguale $ \displaystyle-\frac{1}{x} $ in quell'intorno. Ne segue che il limite sinistro e' $ +\infty $
Parte 2_
Sia $ n=[x] $.
Allora $ n\leq x<n+1 $,
dunque $ n+k\leq x+k< n+k+1 $,
e pertanto $ [x+k]=n+k=[x]+k $.