a^2+b^2+c^2 \le a^2b+b^2c+c^2a+1

[mod_2]

Siano a, b e c tre numeri reali, positivi e inferiori a 1. Si dimostri che
vale la seguente diseguaglianza:
$ a^2+b^2+c^2 \le a^2b+b^2c+c^2a+1 $

[wolverine]

Poniamo $ f(a,b,c)=a^2(1-b)+b^2(1-c)+c^2(1-a) $. Allora quello che dobbiamo dimostrare e' che si ha $ max_{a,b,c}\{f(a,b,c)\}\leq 1 $, per a,b,c che variano tra 0 e 1.
Ma $ max_{a,b,c}\{f(a,b,c)\}=max_{b,c}\{max_a\{f(a,b,c)\}\} $. E, dato che per b,c fissati, $ f(a,b,c) $ e' un polinomio di secondo grado con coefficiente direttore $ (1-b)\geq 0 $, il suo massimo deve essere uno dei valori estremi, ovvero deve essere ottenuto per a=0 oppure per a=1. Dunque

$ max_{a,b,c}\{f(a,b,c)\}=max_{b,c}\{max\{b^2(1-c)+c^2, 1-b+b^2(1-c)\}\} $

Ripetendo lo stesso ragionamento si trova che

$ max_{b,c}\{b^2(1-c)+c^2\}=max_c\{\{c^2,1-c+c^2\}\}=1 $

$ max_{b,c}\{1-b+b^2(1-c)\}=max_c\{\{1,1-c\}\}=1 $

In particolare si vede che il massimo e' proprio 1 (si realizza ad esempio nel puto (1,0,0))