tutti gli interi n tali che n^4 + 4 sia un numero primo
tutti gli interi n tali che n^4 + 4 sia un numero primo
Determinare tutti gli interi $ $n $ tali che $ $n^4 + 4 $sia un numero primo.
Appassionatamente BTA 197!
Usa l'identità di sophie germain e le uniche possibilità sono n=1, n=-1
[b]Membro Club Nostalgici[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Tra l'altro questo problema era gia stato posto tempo fa qui
[b]Membro Club Nostalgici[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Catania 10/10/07
Io: Perché vuoi fare il matematico?
Lui: Se sei un dottore e qualcuno sta male ti svegliano la notte, se sei un ingegnere e crolla un ponte ti rompono ma se sei un matematico [b]CHI TI CERCA???[/b]
Beh, anche senza sapere troppe identità algebriche dai nomi buffi, le si può ricavare con un po' di intuito: ci chiedono di dire quando una cosa è un numero primo, quindi bisogna parlare dei suoi fattori, quindi è plausibile cercare di fattorizzarla.
E' scritta come polinomio .. non è detto che, se la sua valutazione sugli interi è fatta di numeri composti, anche il polinomio si possa fattorizzare, però è più o meno l'unico modo sensato in cui si può risolvere l'esercizio, quindi tanto vale provarci.
Cerchiamo dunque i fattori a coefficienti interi di $ p(x)=x^4+4 $.
Fattori di grado 1 non può averne, perchè non ha radici reali, quindi l'unica possibilità è che abbia 2 fattori di grado 2:
$ (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=x^4+4 $
da cui
$ adx^4+(ae+bd)x^3+(af+cd+eb)x^2+(bf+ce)x+cf=x^4+4 $
e allora
$ ad=1 $ che dice $ a=d=1 $ o $ a=d=-1 $.Siccome abbiamo arbitrarietà sui segni, scegliamo la prima.
Dunque
$ e+b=0 $ ovvero $ e=-b $
$ f+c=b^2 $
$ b(f-c)=0 $
$ cf=4 $ da cui $ c=f=2 $ o $ c=4 $ $ f=1 $ o le simmetriche o con i segni scambiati. Ma $ 1+4=5 $ e non è un quadrato, e del resto, c ed f devono essere positivi altrimenti la loro somma non può essere un quadrato. Quindi c=f=2. Dunque b=2.
In definitiva
$ (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)=x^4+4 $
E' scritta come polinomio .. non è detto che, se la sua valutazione sugli interi è fatta di numeri composti, anche il polinomio si possa fattorizzare, però è più o meno l'unico modo sensato in cui si può risolvere l'esercizio, quindi tanto vale provarci.
Cerchiamo dunque i fattori a coefficienti interi di $ p(x)=x^4+4 $.
Fattori di grado 1 non può averne, perchè non ha radici reali, quindi l'unica possibilità è che abbia 2 fattori di grado 2:
$ (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=x^4+4 $
da cui
$ adx^4+(ae+bd)x^3+(af+cd+eb)x^2+(bf+ce)x+cf=x^4+4 $
e allora
$ ad=1 $ che dice $ a=d=1 $ o $ a=d=-1 $.Siccome abbiamo arbitrarietà sui segni, scegliamo la prima.
Dunque
$ e+b=0 $ ovvero $ e=-b $
$ f+c=b^2 $
$ b(f-c)=0 $
$ cf=4 $ da cui $ c=f=2 $ o $ c=4 $ $ f=1 $ o le simmetriche o con i segni scambiati. Ma $ 1+4=5 $ e non è un quadrato, e del resto, c ed f devono essere positivi altrimenti la loro somma non può essere un quadrato. Quindi c=f=2. Dunque b=2.
In definitiva
$ (x^2+2x+2)(x^2-2x+2)=x^4+4 $