Bella serie!

[sqrt2]

Valutare la serie $ \displaystyle\sum_{m,n=1 t.c. MCD(m,n)=1}^{+\infty}{\frac{1}{mn(m+n)}} $.

[darkcrystal]

La azzardo... $ \displaystyle\sum_{m,n=1 \mbox{ t.c. } (m,n)=1}^{+\infty}{\frac{1}{mn(m+n)}} = \sum_{m=1}^{\infty} \left(\frac{1}{m^2} \sum \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{m+n}} \right) \right) $; ma dato che (m,n)=1, si ha anche (m+n,m)=1 e dunque la somma interna telescopizza a 1. Ci si riduce perciò a $ \displaystyle \sum \frac{1}{m^2}=\frac{\pi^2}{6} $
Chi smentisce?

[sqrt2]

La somma interna non telescopizza a 1...

[darkcrystal]

Ah già ops... se non sbaglio di nuovo telescopizza alla somma degli inversi dei coprimi con m minori di m... solo che non vedo un modo facile di esprimerla in forma chiusa e ora non ho molto tempo, ma direi che allora tutta la serie vada a 2... spero stasera di scrivere qualcosa di più

[sqrt2]

In effetti 2 è il risultato corretto. Attendo la tua dimostrazione...