Sia $ a_0(\alpha)=\alpha $ e $ a_k(\alpha)=a_{k-1}(\alpha) ^2 -k $.
Dimostrare che:
(i) $ \exists \alpha $ tale che $ a_k < k $ definitivamente (da un certo $ n_0 $ in poi) e dire se è unico o meno.
(ii) Detto $ \alpha_0 $ uno tale che $ 0 < a_k < k $ definitivamente si dimostri che $ \lim _{ k \to \infty} a_k(\alpha_0) - \sqrt{ k } = \frac 12 $
Successione caotica...
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Simo_the_wolf
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Prima osservazione: se $ ~ a_k(\alpha) > k $ per qualche k maggiore di 3, allora $ ~ a_k(\alpha) > k $ per tutti i k successivi al k di prima. (dimostrarlo è banale).
Sia $ ~ p_k(x) = x^2 - k $ (una successione di polinomi) e $ ~ q_k(x) = p_k(\ldots p_2(p_1(x))\ldots ) $ (altra successione di polinomi).
Siccome i $ ~ p_k $ mandano R su R, allora anche i $ ~ q_k $ mandano R su R ed inoltre sono funzioni continue.
Pertanto gli intervalli $ ~ A_k = q_k^{-1}([0,k]) $ sono chiusi (controimmagini di chiusi secondo funzioni continue) e limitati (è facile vedere che se $ ~ \alpha > 10 $ allora $ ~ a_k(\alpha) $ schizza subito via e si tiene ben lontano da k).
Quindi sono compatti. Il punto (i) ci chiede esattamente un'intersezione infinita degli $ ~ A_k $, che sono compatti incatenati, (questo lo si deduce dalla prima osservazione, e i k=1,2,3 possiamo ignorarli allegramente), e quindi questa intersezione non è vuota.
Visto che 0 non funziona e $ ~ \alpha, - \alpha $ danno vita alla stessa soluzione ci togliamo subito di torno la seconda domanda del punto (i).
Una volta dimostrato il punto (ii) (che sono stime che non scrivo perchè tanto nessuno leggerebbe) possiamo dire che dati due $ ~ \alpha, \beta $ tali che $ ~ 0 < a_k(\alpha), a_k(\beta) < k $, allora $ ~ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n(\alpha) - a_n(\beta) = 0 $, questo implica che le due successioni sono definitivamente uguali (altrimenti la loro distanza, elevata al quadrato, avrebbe una certa tendenza ad aumentare ogni tanto), e questo implica che gli alpha buoni (cioè tali che $ ~ a_k(\alpha) < k $ definitivamente) sono numerabili.
Sia $ ~ p_k(x) = x^2 - k $ (una successione di polinomi) e $ ~ q_k(x) = p_k(\ldots p_2(p_1(x))\ldots ) $ (altra successione di polinomi).
Siccome i $ ~ p_k $ mandano R su R, allora anche i $ ~ q_k $ mandano R su R ed inoltre sono funzioni continue.
Pertanto gli intervalli $ ~ A_k = q_k^{-1}([0,k]) $ sono chiusi (controimmagini di chiusi secondo funzioni continue) e limitati (è facile vedere che se $ ~ \alpha > 10 $ allora $ ~ a_k(\alpha) $ schizza subito via e si tiene ben lontano da k).
Quindi sono compatti. Il punto (i) ci chiede esattamente un'intersezione infinita degli $ ~ A_k $, che sono compatti incatenati, (questo lo si deduce dalla prima osservazione, e i k=1,2,3 possiamo ignorarli allegramente), e quindi questa intersezione non è vuota.
Visto che 0 non funziona e $ ~ \alpha, - \alpha $ danno vita alla stessa soluzione ci togliamo subito di torno la seconda domanda del punto (i).
Una volta dimostrato il punto (ii) (che sono stime che non scrivo perchè tanto nessuno leggerebbe) possiamo dire che dati due $ ~ \alpha, \beta $ tali che $ ~ 0 < a_k(\alpha), a_k(\beta) < k $, allora $ ~ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n(\alpha) - a_n(\beta) = 0 $, questo implica che le due successioni sono definitivamente uguali (altrimenti la loro distanza, elevata al quadrato, avrebbe una certa tendenza ad aumentare ogni tanto), e questo implica che gli alpha buoni (cioè tali che $ ~ a_k(\alpha) < k $ definitivamente) sono numerabili.