grazie
potenze con radicali o frazioni come esponente
potenze con radicali o frazioni come esponente
Su un vecchio (non tanto in realtà) archimede ho trovato delle potenze con radicali o frazioni come esponente. Qualcuno mi saprebbe spiegare cosa significano?
grazie
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La potenza è una funzione che ad ogni coppia (reale positivo, reale) (il primo è la base, il secondo è l'esponente) associa un altro reale positivo e che soddisfa queste proprietà:
- $ ~ a^1 = a $
- $ ~ a^{b+c} = a^b a^c $
- per ogni a, la funzione $ ~ x \rightarrow a^x $ è monotona. (ovvero o crescente o decrescente)
Per definire univocamente le potenze con esponente razionale bastano le prime due proprietà.
Intanto, $ ~ a^0 = a^{0+0} = a^0 a^0 $, da cui $ ~ a^0 = 1 $.
Procedendo per induzione si dimostra facilmente che $ ~ a^n = a \cdot a \cdots a $ (n volte), e che $ ~ 1 = a^0 = a^{n-n} = a^n a^{-n} $, quindi $ ~ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.
Così è definita sugli interi.
Dalla seconda proprietà possiamo dedurre che, per b e c interi, $ ~ (a^b)^c = a^{bc} $. Così la riusciamo ad estendere ai razionali:
$ ~ \left(a^{\frac pq}\right) ^q = a^p $, quindi $ ~ a^{\frac pq} $ è la radice q-esima di $ ~ a^p $, che per ragioni di completezza dei reali sappiamo che esiste.
Ora veniamo a quello che ti interessa...
Sia r un numero reale, a reale positivo.
Sappiamo calcolare $ ~ a^q $ per ogni razionale q.
Sia A l'insieme di tutti i reali (positivi) che si scrivono come $ ~ a^q $ dove q è minore di r.
Sia B l'insieme di tutti i reali che si scrivono come $ ~ a^q $ dove q è maggiore di r.
Sfruttando la terza proprietà, capiamo subito che l'insieme A sta tutto da una parte di $ ~ a^r $ (che non sappiamo bene cos'è) e che l'insieme B sta anche lui tutto da una parte di $ ~ a^r $, però dall'altra parte rispetto ad A.
Quindi questo numero misterioso, $ ~ a^r $, sappiamo che sta incastrato tra A e B. Con qualche disuguaglianza e sfruttando le proprietà più importanti dei reali (sup e inf) si dimostra che esiste un unico numero incastrato tra A e B, e questo numero deve essere $ ~ a^r $. (spero di essermi fatto capire...)
Per Archimede serviranno più che altro applicazioni delle proprietà delle potenze, oltre alle tre sopra, c'è anche questa:
$ ~ (a^b)^c = a^{bc} $.
Posta tu magari qualche esercizio...
- $ ~ a^1 = a $
- $ ~ a^{b+c} = a^b a^c $
- per ogni a, la funzione $ ~ x \rightarrow a^x $ è monotona. (ovvero o crescente o decrescente)
Per definire univocamente le potenze con esponente razionale bastano le prime due proprietà.
Intanto, $ ~ a^0 = a^{0+0} = a^0 a^0 $, da cui $ ~ a^0 = 1 $.
Procedendo per induzione si dimostra facilmente che $ ~ a^n = a \cdot a \cdots a $ (n volte), e che $ ~ 1 = a^0 = a^{n-n} = a^n a^{-n} $, quindi $ ~ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.
Così è definita sugli interi.
Dalla seconda proprietà possiamo dedurre che, per b e c interi, $ ~ (a^b)^c = a^{bc} $. Così la riusciamo ad estendere ai razionali:
$ ~ \left(a^{\frac pq}\right) ^q = a^p $, quindi $ ~ a^{\frac pq} $ è la radice q-esima di $ ~ a^p $, che per ragioni di completezza dei reali sappiamo che esiste.
Ora veniamo a quello che ti interessa...
Sia r un numero reale, a reale positivo.
Sappiamo calcolare $ ~ a^q $ per ogni razionale q.
Sia A l'insieme di tutti i reali (positivi) che si scrivono come $ ~ a^q $ dove q è minore di r.
Sia B l'insieme di tutti i reali che si scrivono come $ ~ a^q $ dove q è maggiore di r.
Sfruttando la terza proprietà, capiamo subito che l'insieme A sta tutto da una parte di $ ~ a^r $ (che non sappiamo bene cos'è) e che l'insieme B sta anche lui tutto da una parte di $ ~ a^r $, però dall'altra parte rispetto ad A.
Quindi questo numero misterioso, $ ~ a^r $, sappiamo che sta incastrato tra A e B. Con qualche disuguaglianza e sfruttando le proprietà più importanti dei reali (sup e inf) si dimostra che esiste un unico numero incastrato tra A e B, e questo numero deve essere $ ~ a^r $. (spero di essermi fatto capire...)
Per Archimede serviranno più che altro applicazioni delle proprietà delle potenze, oltre alle tre sopra, c'è anche questa:
$ ~ (a^b)^c = a^{bc} $.
Posta tu magari qualche esercizio...
In realtà l'esercizio non era difficile e bastava qualche propietà delle potenze (ma lo posto lo stesso) solo che non le avevo mai vistee mi chiedevo cosa fossero di preciso
Quale fra i seguenti numeri è superiore all'unità?
$ (\frac{3}{4})^3/4 (1,1)^1,1 (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-1/\sqrt2} (sqrt2-1)^sqrt2-1 (2-sqrt3)^2-sqrt3 $
Quale fra i seguenti numeri è superiore all'unità?
$ (\frac{3}{4})^3/4 (1,1)^1,1 (\frac{1}{\sqrt{2}})^{-1/\sqrt2} (sqrt2-1)^sqrt2-1 (2-sqrt3)^2-sqrt3 $
In realtà l'esercizio non era difficile e bastava qualche propietà delle potenze (ma lo posto lo stesso) solo che non le avevo mai vistee mi chiedevo cosa fossero di preciso
Quale fra i seguenti numeri è superiore all'unità?
$ (\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}} (1,1)^{1,1} \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2}-1)^{\sqrt{2}-1} (2-sqrt3)^2-sqrt3 $
Quale fra i seguenti numeri è superiore all'unità?
$ (\frac{3}{4})^{\frac{3}{4}} (1,1)^{1,1} \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2}-1)^{\sqrt{2}-1} (2-sqrt3)^2-sqrt3 $
nel latex che c'è sul forum (e nell'ambiente math) è vietato lasciare righe bianche sennò il compilatore impazzisce 
per andare a capo puoi usare \\ 
$ \displaystyle { \left (\frac{3}{4}\right )}^{\frac{3}{4}} \\ (1,1)^{1,1} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ (\sqrt{2}-1)^{\sqrt{2}-1}\\ (2-\sqrt3)^2-\sqrt3\\ $
per andare a capo puoi usare \\ $ \displaystyle { \left (\frac{3}{4}\right )}^{\frac{3}{4}} \\ (1,1)^{1,1} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ (\sqrt{2}-1)^{\sqrt{2}-1}\\ (2-\sqrt3)^2-\sqrt3\\ $
[url]http://www.agiblog.it/[/url]
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
. Grazie .