insiemi contigui e elemento separatore

[ummagumma]

Mi sono imbattuto in una dimostrazione (alquanto semplice), vediamo se funge:
dati due insiemi non vuoti A e B, separati, essi sono contigui se e soltanto se s=supA=infB, dove s è l'elemento separatore (supposto che esista).

1) condizione necessaria: risulta per Hp supA<=inf B, ovvero 0<=inf B- sup A
inoltre si ha anche: inf B<=b e -supA<=a per ogni a di A e b di B.
da ciò 0<=inf B - sup A <b>sup A, allora esisterebbe un eps=infB-supA>0, tale che b-a>eps per ogni a di A e b di B. Ciò contrasta con la proprietà di avvicinamento indefinito.

2) condizione sufficiente: sia supA=inf B. per ogni eps>0:
esiste un a(eps) di A: a(eps)> supA-eps
esiste un b(eps) di B: b(eps)<inf B + eps
allora si ha, per ogni eps:
b(eps) - a(eps)< inf B - supA + 2eps=2eps
che è la proprietà di avvicinamento indefinito.

i miei dubbi riguardano soprattuto il punto 1). Per quanto sia semplice, esistono dimostrazioni più fighe?