Salve a tutti quanti,
ho un piccolo dubbio sul calcolo dei polinomi di Taylor. Allora prendiamo per esempio lo sviluppo:
$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+... $
Adesso se io volessi, per esempio, lo sviluppo di $ \cos 3x $ non faccio altro che sostuire:
$ \cos 3x = 1 - \frac{(3x)^2}{2!}+ \frac{(3x)^4}{4!} - \frac{(3x)^6}{6!}+... $
Ok, la mia domanda è: sotto quali condizioni si può fare questa sostituzione? Ovvero, se $ T_f (x) $ è lo sviluppo di una certa funzione $ f $, quando è che posso dire
$ T_{f \circ g} (x) = T_f (g (x)) $
Grazie per l'aiuto!!
Luca
Dubbio Polinomi Taylor
NN so co sa significhi analitiche comunque ringrazio luca 88 x aver ostato questo esercizio, era tanto ke me lokiedevo anke io, ma x pigrizia nn mi ci sono mai messo..
adesso ci ho provato, spero solo ke qualcuno confermi che analitiche vuol dire della forma ax (con a reale diverso da 0).
prendo per ipotesi che almeno g sia una funzione polinomiale, e centriamo il polinomio in zero.
Il caro Taylor ci dice che f(x) se è derivabile n volte puo essere approssimato con il polinomio $ f(x)= f(0) + \sum_{1}^{n}{\frac {f^i \ (0) x^i}{i!}} $
se n puo andare all'infinito allora si ha identità.
adesso f(g(x)) sempre per Taylor vale $ f(g(x))=f(g(0)) + {f^1 \ g (0) * g^1 \ (0) * x} + schifezze... $.
affinche si abbia identità con $ f(g(x))= f(0) + \sum_{1}^{n}{\frac {f^i \ (0) * {g(x)}^i}{i!}} $ deve essere almeno per i primi due termini:
f(g(0))=f(0)
$ { f^1 \ g (0) * g^1 \ (0) * x } = { f^1 \ (0) * g(x) } $
da cui banalmente g(0)=0 e g(x) / x è una costante per ogni x del dominio di g.
sviluppando gli altri conti viene ke $ \frac {g^i \ (x) }{x^i} $ è una costante, ma è piu omeno inutile
da qui concludiamo che g(x) è della forma ax con in R/{0}.
del resto è di facile verifica che tutti i g(x) in quella forma soddisfano le ipotesi
adesso ci ho provato, spero solo ke qualcuno confermi che analitiche vuol dire della forma ax (con a reale diverso da 0).
prendo per ipotesi che almeno g sia una funzione polinomiale, e centriamo il polinomio in zero.
Il caro Taylor ci dice che f(x) se è derivabile n volte puo essere approssimato con il polinomio $ f(x)= f(0) + \sum_{1}^{n}{\frac {f^i \ (0) x^i}{i!}} $
se n puo andare all'infinito allora si ha identità.
adesso f(g(x)) sempre per Taylor vale $ f(g(x))=f(g(0)) + {f^1 \ g (0) * g^1 \ (0) * x} + schifezze... $.
affinche si abbia identità con $ f(g(x))= f(0) + \sum_{1}^{n}{\frac {f^i \ (0) * {g(x)}^i}{i!}} $ deve essere almeno per i primi due termini:
f(g(0))=f(0)
$ { f^1 \ g (0) * g^1 \ (0) * x } = { f^1 \ (0) * g(x) } $
da cui banalmente g(0)=0 e g(x) / x è una costante per ogni x del dominio di g.
sviluppando gli altri conti viene ke $ \frac {g^i \ (x) }{x^i} $ è una costante, ma è piu omeno inutile
da qui concludiamo che g(x) è della forma ax con in R/{0}.
del resto è di facile verifica che tutti i g(x) in quella forma soddisfano le ipotesi
The only goal of science is the honor of the human spirit.
No jordan, così non funziona: chi dice che si debba avere
$ f'(0)g'(0)x=f'(0)g(x) $
g(x) potrebbe contribuire anche a termini di grado più alto, in x.
Inoltre, tu parli di polinomi, ma luca88 ha parlato di sviluppi di Taylor, credo quindi intendendo le serie di Taylor.
Il fatto è questo: se avete due funzioni f, g e le sviluppate in Taylor all'ordine n (fatemi usare il resto di Peano che torna meglio...)
$ f(x)=\displaystyle{\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}}+o(x^n) $
$ g(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{g^{(k)}(0)x^k}{k!}+o(x^n) $
allora, supponendo che $ g(0)=0 $ per comodità,
$ f(g(x))=\displaystyle{\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(0)g(x)^i}{i!}+o(g(x)^n) $
e questo è vero, per piccoli valori di g(x) intorno a g(0)=0 (e dunque, visto che g è almeno derivabile n volte e dunque continua, per piccoli valori di x intorno a 0).
Ora, sostituendo alla g il suo sviluppo, otteniamo
$ f(g(x))=\displaystyle{\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(0)}{i!} $$ \displaystyle{\left(g'(0)x+\frac{g''(0)x^2}{2}+\ldots+\frac{g^{(n)}(0)x^n}{n!}+o(x^n)\right)^n $$ \displaystyle{+o((g'(0)x+\ldots+o(x^n))^n)\right) $
A questo punto, bisogna sviluppare i calcoli e raccogliere i termini per grado, eliminando tutto ciò che contiene potenze di x maggiori di n (che verranno mangiate dall'o-piccolo).
Ad esempio, il grado 0 ha coefficiente f(0); il grado 1 ha coefficiente $ f'(0)g'(0) $, il grado 2 ha coefficiente $ \dfrac{f''(0)g'(0)^2+f'(0)g''(0)}{2} $ che è esattamente $ \dfrac{(f\circ g)^{2}(0)}{2} $.
E così via. A ogni passo si può verificare che il coefficiente di grado m è esattamente la derivata m-esima della composizione diviso m!.
Dunque, se ho i polinomi di taylor di f e g al grado n, chiamiamoli p,q, il polinomio al grado n per f(g(x)) sarà la parte di grado minore o uguale a n in p(q(x)).
Per le serie di Taylor, la cosa è invece vera senza riserve, però ovviamente serve che gli sviluppi di Taylor convergano alle funzioni originali (questa condizione è detta "analiticità", ovvero, una funzione è analitica se è il limite della propria serie di Taylor).
Quindi, per funzioni come esponenziale, seno, coseno, questa cosa è vera, ma non per $ e^{-1/x^2} $ nell'origine, ad esempio.
PS: jordan, la smetti di usare k e altre abbreviazioni? Se vuoi ti compro una tastiera nuova con la c e la h...scherzi a parte, qui non ci sono limiti di caratteri, quindi non è bene scrivere in stile sms (l'abbiamo anche messo tra le regole, come noterai se ti darai pena di leggerle).
$ f'(0)g'(0)x=f'(0)g(x) $
g(x) potrebbe contribuire anche a termini di grado più alto, in x.
Inoltre, tu parli di polinomi, ma luca88 ha parlato di sviluppi di Taylor, credo quindi intendendo le serie di Taylor.
Il fatto è questo: se avete due funzioni f, g e le sviluppate in Taylor all'ordine n (fatemi usare il resto di Peano che torna meglio...)
$ f(x)=\displaystyle{\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(0)x^i}{i!}}+o(x^n) $
$ g(x)=\displaystyle{\sum_{k=0}^n\frac{g^{(k)}(0)x^k}{k!}+o(x^n) $
allora, supponendo che $ g(0)=0 $ per comodità,
$ f(g(x))=\displaystyle{\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(0)g(x)^i}{i!}+o(g(x)^n) $
e questo è vero, per piccoli valori di g(x) intorno a g(0)=0 (e dunque, visto che g è almeno derivabile n volte e dunque continua, per piccoli valori di x intorno a 0).
Ora, sostituendo alla g il suo sviluppo, otteniamo
$ f(g(x))=\displaystyle{\sum_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(0)}{i!} $$ \displaystyle{\left(g'(0)x+\frac{g''(0)x^2}{2}+\ldots+\frac{g^{(n)}(0)x^n}{n!}+o(x^n)\right)^n $$ \displaystyle{+o((g'(0)x+\ldots+o(x^n))^n)\right) $
A questo punto, bisogna sviluppare i calcoli e raccogliere i termini per grado, eliminando tutto ciò che contiene potenze di x maggiori di n (che verranno mangiate dall'o-piccolo).
Ad esempio, il grado 0 ha coefficiente f(0); il grado 1 ha coefficiente $ f'(0)g'(0) $, il grado 2 ha coefficiente $ \dfrac{f''(0)g'(0)^2+f'(0)g''(0)}{2} $ che è esattamente $ \dfrac{(f\circ g)^{2}(0)}{2} $.
E così via. A ogni passo si può verificare che il coefficiente di grado m è esattamente la derivata m-esima della composizione diviso m!.
Dunque, se ho i polinomi di taylor di f e g al grado n, chiamiamoli p,q, il polinomio al grado n per f(g(x)) sarà la parte di grado minore o uguale a n in p(q(x)).
Per le serie di Taylor, la cosa è invece vera senza riserve, però ovviamente serve che gli sviluppi di Taylor convergano alle funzioni originali (questa condizione è detta "analiticità", ovvero, una funzione è analitica se è il limite della propria serie di Taylor).
Quindi, per funzioni come esponenziale, seno, coseno, questa cosa è vera, ma non per $ e^{-1/x^2} $ nell'origine, ad esempio.
PS: jordan, la smetti di usare k e altre abbreviazioni? Se vuoi ti compro una tastiera nuova con la c e la h...scherzi a parte, qui non ci sono limiti di caratteri, quindi non è bene scrivere in stile sms (l'abbiamo anche messo tra le regole, come noterai se ti darai pena di leggerle).