Icosaedro tronco regolare

[urano88]

In primo luogo dovrei determinare gli angoli tra le facce (esagono-esagono e esagono-pentagono) quindi conoscendo solamente il lato come trovo il raggio della sfera inscritta e quello della circoscritta?

P.S. non so proprio da che parte girarmi

Grazie! Ciao!

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

per il raggio circoscritto puoi fare così:
prendiamo un'icosaedro di lato l e sezioniamolo in modo da ottenere un'icosaedro tronco con spiguli uguali. Così facendo dividiamo ciascuno spigolo in tre parti uguali, ottenendo all'interno di ciascuna faccia dell'icosaedro iniziale un esagono di lato l/3 e come sezione di ciascun piano un pentagono di lato l/3.
A questo punto chiamiamo O il centro dell'icosaedro, e considediamo una faccia ABC; AB è diviso in tre parti uguali dai punti D ed E (AD=DE=EB=l/3) chiamiamo I il centro del triangolo ABC.
ora consideriamo il triangolo OID, esso è rettangolo in I.
abbiamo che ID=l/3, OI è il raggio della sfera inscritta all'icosaedro e DO è il raggio dell'icosaedro tronco che vuoi trovare, applichi pitagora e hai finito.

[urano88]

Grazie per l'aiuto!

Ok, ho capito i tuoi passaggi, in pratica vado a considerare un triangolo rettangolo i cui cateti rappresentano il lato del icosaedro tronco e il raggio della sfera inscritta e l'ipotenusa è il raggio circoscritto. Solo che di questo triangolo conosco solamente un cateto... non ho un modo per trovare gli angoli del triangolo? E' sicuramente un dato caratteristico degli icosaedri, ma come si ricava? Oltretutto in questo modo risolvo anche il problema dell'angolo tra le facce esagono-esagono lasciando aperto solamente il quesito sull'angolo tra pentagono-esagono

Solamente un passaggio del tuo procedimento non mi è chiaro: come fai ad affermare che il raggio della sfera iscritta dopo la troncatura continua a "toccare" le facce ex-triangolari e non viene ridotto "toccando" solamente le pentagonali? La regolarità dell'icosaedro tronco è il caso limite in cui la sfera inscritta tocca tutte le facce? Anche questa affermazione sarebbe da quantomeno spiegare se non dimostrare...

Grazie, Ciao!

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Solamente un passaggio del tuo procedimento non mi è chiaro: come fai ad affermare che il raggio della sfera iscritta dopo la troncatura continua a "toccare" le facce ex-triangolari e non viene ridotto "toccando" solamente le pentagonali? La regolarità dell'icosaedro tronco è il caso limite in cui la sfera inscritta tocca tutte le facce? Anche questa affermazione sarebbe da quantomeno spiegare se non dimostrare...

non ho capito cosa intendi, non mi interessa sapere se la sfera inscritta all'icosaedro tocca o no i pentagoni dell'icosaedro tronco perchè lavoro sugli esagoni i cui centri che non si spostano dal centro dell'icosaedro iniziale.

[urano88]

non ho capito cosa intendi, non mi interessa sapere se la sfera inscritta all'icosaedro tocca o no i pentagoni dell'icosaedro tronco perchè lavoro sugli esagoni i cui centri che non si spostano dal centro dell'icosaedro iniziale.

Mettiamo per esempio che il mio icosaedro tronco non sia regolare, ma le facce pentagonali siano molto grandi rispetto a quelle esagonali. In questo caso mi sembra ragionevole pensare che la sfera inscritta a questo icosaedro non toccherà le facce esagonali in quanto la distanza dal centro dell'icosaedro delle facce pentagonali sarà minore di quella delle esagonali e quindi dopo la troncatura la sfera iscritta sarà più piccola di quella iniziale. Ora non so se questa cosa accada realmente... purtroppo non riesco in alcun modo ad affrontare una dimostrazione, probabilmente nel caso dell'icosaedro tronco regolare non succede, ma com'è possibile affermarlo con certezza?

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

per la sfera inscritta bisogna vedere se tange solo gli esagoni o solo i pentagoni, quindi quella che tange gli esagoni non è altro che il raggio della sfera inscritta all'icosaedro che dopo un po' di conti dovrebbe venir fuori così (con l la lunghezza del lato dell'icosaedro):

$ \displaystyle R_1 = \sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{5}}{24}} \cdot l $

mentre quella che tange i pentagoni si calcola sottraendo alla metà della distanza tra due vertici opposti dell'icosaedro un terzo dell'altezza della piramide a base pentagonale che dovrebbe venire

$ \displaystyle R_2 = \frac{\sqrt{125 + 41\sqrt{5}}}{6 \sqrt{10}} \cdot l > R_1 $

quindi $ R_1 $ è il raggio della sfera inscritta all'icosaedro tronco che tange solo gli esagoni

l'angolo tra pentagoni e esagoni lo calcolo così:


$ \displaystyle \arctan \left ( \frac{\sqrt{\frac{7 + 3\sqrt{5}}{24}}}{\frac{\sqrt{3}}{6}} \right ) + \arctan \left ( \frac{ \frac{\sqrt{125 + 41\sqrt{5}}}{6 \sqrt{10}}}{\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{30}} \right ) \approx 142^o 37 ' 21'' $