Colorazioni del piano

[Catraga]

Supponiamo che ad ogni punto del piano sia associato un colore a scelta tra tre.
Dimostrare che per ogni colorazione siffatta esiste un triangolo equilatero che ha i tre vertici dello stesso colore.

[Catraga]

Hint:
Esiste un punto P ed una semiretta r con origine in P, essa conterra' infiniti punti dello stesso colore di P.

[pazqo]

solo per curiosità, (come ho sempre detto non mi piace risolvere i problemi, ma contemplarli) la colorazione può essere arbitrariamente patologica (struttura caotica e/o frattale) oppure in un intorno di un punto giallo devono esserci infiniti punti gialli? oppure deve esistere un intorno che è tutto giallo? (intorno: sto considerando la topologia solita sul piano)

Solo per curiosità, eh!

pazqo

[Catraga]

No, non c'e' nessuna patologia, la colorazione e' arbitraria.

[edriv]

Visto che un cannone lo uso comunque, portiamo i colori da 3 ad n.

Consideriamo i numeri naturali (come sottoinsieme del piano) che si trovano partizionati in n insiemi. Per Van der Waerden (eccolo qua ) esiste una progressione aritmetica monocromatica lunga quanto vogliamo, di colore a. Tracciamo un reticolo tipo questo: http://web.unife.it/progetti/geometria/ ... gonale.gif
a forma di triangolo avente come punti sulla base quelli della mia progressione aritmetica. Ogni punto del reticolo, tolta la base, deve essere di un colore diverso da a. Continuando di questo passo, arriviamo ad un solo colore che resta in un sottoreticolo (o meglio soprareticolo visto che sto considerando le parti sempre più verso la punta) triangolare, con base almeno 2.

Se non si è capito, indicando con W(n,c) il numero di van der waerden con n numeri e c colori, la stima per la progressione del primo colore è:
W(...W(W(W(2,1),2),3)...,n).

La soluzione mi fa pensare che questo sia il caso particolare di un teorema più grosso. (c'era forse un teorema stile van der waerden che riguardava "disegnini discreti" in $ ~ \mathbb{N}^n $ con finiti colori e dei sottodisegnini monocromatici?)

[Tibor Gallai]

c'era forse un teorema stile van der waerden che riguardava "disegnini discreti" in con finiti colori e dei sottodisegnini monocromatici?

[FeddyStra]

Supponiamo che ad ogni punto del piano sia associato un colore a scelta tra tre.
Dimostrare che per ogni colorazione siffatta esiste un triangolo equilatero di lato unitario che ha i tre vertici dello stesso colore.

Credo che fph sarà felicissimo di riproporre la sua semplicissima dimostrazione già presentata ad uno stage di Pavia di qualche anno fa.

[Febo]

c'era forse un teorema stile van der waerden che riguardava "disegnini discreti" in con finiti colori e dei sottodisegnini monocromatici?

LOL

[fph]

Supponiamo che ad ogni punto del piano sia associato un colore a scelta tra tre.
Dimostrare che per ogni colorazione siffatta esiste un triangolo equilatero di lato unitario che ha i tre vertici dello stesso colore.

Credo che fph sarà felicissimo di riproporre la sua semplicissima dimostrazione già presentata ad uno stage di Pavia di qualche anno fa.

mmm dubito di averlo dimostrato perché (se non mi sbaglio) è falso.
Prendi per esempio una colorazione a "strisce" parallele, di colori A-B-C-A-B-C-A... , larghe ognuna 0.4: un triangolo equilatero monocromatico non ci sta.
IIRC a Pavia avevo dimostrato che ci sono due punti dello stesso colore a distanza 1, con le stesse ipotesi.