uno stock di problemi

[lordgauss]

Forse sto contravvenendo ad una regola base della nostra costituzione materiale, ma vorrei qui proporre un po\' di problemi su argomenti disparati.
<BR>
<BR>1) Una superficie ha la seguente proprietà: ogni sua sezione piana è una circonferenza. Dimostrare che tale superficie è una sfera.
<BR>
<BR>2) Si determinino gli interi positivi k tale che il polinomio P(x)=x^5+x^4+x³+kx²+x+1 si possa scrivere come prodotto di polinomi di grado inferiore a 5.
<BR>
<BR>3) Trovare tutti gli interi positivi < 200 tali che n² + (n+1)² sia un quadrato perfetto
<BR>
<BR>Sono previsti premi per gli incliti solutori (scherzo)[addsig]

[jack202]

Sembrano fattibili... faccio l\'ultimo...
<BR>per le regole di generazione delle terne
<BR>pitagoriche, dovremo avere
<BR>
<BR>A) n = a^2-b^2
<BR> n+1 = 2ab
<BR>
<BR>oppure
<BR>
<BR>B) n = 2ab
<BR> n+1 = a^2-b^2
<BR>
<BR>A) 2ab - a^2 + b^2 - 1 = 0
<BR>B) a^2 - b^2 - 2ab - 1 = 0
<BR>
<BR>A) (a+b)^2 = (2a^2 + 1)
<BR>B) (a-b)^2 = (2b^2 + 1)
<BR>
<BR>si tratta quindi, anyway di trovare per
<BR>quali x interi una roba del tipo
<BR>
<BR>2x^2 + 1
<BR>
<BR>è un quadrato (indubbiamente dispari)
<BR>
<BR>2x^2 + 1 = (2y+1)^2
<BR>x^2 = 2y^2 + 2y
<BR>
<BR>x è necessariamente pari, poniamo x=2z
<BR>
<BR>z^2 = y(y+1) / 2
<BR>
<BR>il classico problema di Pell : trovare quali
<BR>numeri sono sia quadrati che triangolari...
<BR>A voi il proseguimento...
<BR>

[jack202]

Per dovere di cronaca posto anche le
<BR>soluzioni integrali :
<BR>
<BR>n=3 3^2 + 4^2 = 5^2
<BR>n=20 20^2 + 21^2 = 29^2
<BR>n=119 119^2 + 120^2 = 169^2
<BR>
<BR>Pell sei un mito !
<BR>