uno stock di problemi-2

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Una caratteristica notevole del primo problema è che può essere risolto anche se si è totalmente all\'oscuro di disuguaglianze fra medie ed affini.
 
 1) Siano a_1, a_2,..., a_n, b_1, b_2,..., b_n numeri reali positivi tali che
 suma_i = sumb_i.
 Dimostrare che
 2(sum(a_i)²/(a_i+b_i)) >= suma_i
 
 2) Dimostrare che esistono infiniti triangoli T tali che le lunghezze dei lati di T sono interi consecutivi e l\'area di T è intera.
 
 3) Dimostrare che il prodotto di k interi consecutivi è sempre divisibile per k!
 
 Ciao

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Mi cimento col primo. Con S(x_i) intendo la somma di x_1, x_2, ..., x_n.
 
 Si ha che S((a_i-b_i)^2/(a_i+b_i))>=0 cioe\'
 
 S(a_i+b_i-4a_ib_i/(ai+b_i))>=0 cioe\'
 
 2S(a_i+b_i-2a_ib_i/(ai+b_i))>=S(a_i+b_i) cioe\'
 
 2S((a_i^2+b_i^2)/(a_i+b_i)>=2S(a_i) da cui la tesi.
 
 Infatti, essendo S(a_i-b_i)=0, risulta S(a_i^2/(a_i+b_i))=S(b_i^2/(a_i+b_i)).
 
 Ciao
 sprmnt21
 PS
 LordGauss e\' questa la prova che dicevi? in fondo, come ho letto da qualche parte, tutte le diseguaglianze non sono altro che una riscrittura dellla diseguaglianza fondamentale quella che dice che x^2>=0.

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

Io prendo il terzo : tra k numeri CONSECUTIVI ci sono almeno
 
 int(k/2) numeri divisibili per 2
 int(k/3) numeri divisibili per 3
 int(k/4) numeri divisibili per 4
 ...
 1 numero divisibile per k
 
 dunque il prodotto di k numeri consecutivi
 è sicuramente multiplo di k!

jack202 · Messaggio da **jack202** » 01 gen 1970, 01:33

Vai col secondo !
 
 Se x, (x+1), (x+2) sono i lati del triangolo
 l\'area, per il t. di Erone, varrà
 
 1/4 rad((3x+3)(x+3)(x+1)(x-1)) =
 
 (x+1)/4 rad( 3(x+3)(x-1) )
 
 ponendo (x+1)=y
 
 y/4 rad ( 3(y+2)(y-2) )
 
 ponendo y=4z
 
 z rad ( 3 (16z^2 - 4) )
 
 resta ora solo da dimostrare che
 l\'equazione
 
 48 z^2 - 12 = w^2
 
 ha infinite soluzioni nei numeri naturali
 w è sicuramente pari, poniamo w=2t
 
 12 z^2 - 3 = t^2
 
 t è multiplo di 3, poniamo t = 3k
 
 4z^2 - 3k^2 = 1
 
 che è un\'altra delle celebri equazioni di Pell,
 ed ha in N (e te pareva) infinite soluzioni.
 
 Le prime ?
 [z ; k]
 
 [1 ; 1]
 [13 ; 15]
 [181 ; 209]
 [2521 ; 2911]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Ehi, Jack, si può davvero dire che ai miei problemi hai fatto la Pell.
 Comunque, potresti parlare un po\' di queste equazioni in un nuovo topic?
 
 sprmnt21: la prova che dicevo era del tutto simile alla tua.[addsig]