Dal PEN

[l'Apprendista_Stregone]

Sia $ p $ un primo della forma $ 4k+1 $.
Supponiamo che $ 2p+1 $ sia primo.
Dimostrare che non esiste $ k \in N / k<2p $ e $ 2^k \equiv 1 \mod{(2p+1)} $

Spero di non aver sbagliato la traduzione e che non sia troppo banale...
Buon lavoro

[EUCLA]

Se $ 2p+1 $ è primo allora $ 2^{2p} \equiv 1 \ (2p+1) $
Ma supponiamo che valga anche $ 2^{k} \equiv 1 \ (2p+1) $.
Dunque $ (2p, k) \ne 1 $ poichè sono entrambi divisi dall'ordine.
Sempre per ipotesi $ k < 2p $, quindi $ k|2p $

$ \rightarrow k=1 $
Allora $ 2 \equiv 1 \ (2p+1) $ quindi $ p=0 $ assurdo.

$ \rightarrow k=2 $
$ p =4k+1=9 $ altrettanto assurdo.

$ \rightarrow k=p $
$ p=4k+1=4p+1 $ dunque $ 3p=-1 $ che è proprio assurdo.


Qualcuno che dice che questa volta non ho scritto cavolate?

[jordan]

perche chi ha mai detto che dici cavolate?
brava cmq

[EUCLA]

Lo dico io ed è ampiamente dimostrabile dai miei post

[albert_K]

Ma siamo sicuri che quel k sia lo stesso di p = 4k +1 ?

Secondo me per dire che $ $ 2^p \not \equiv 1 \pmod{2p + 1} $ $ basta dire che $ $ 2p + 1 \equiv -1 \pmod{4}$ $.

[edriv]

I criteri per vedere se 2 è un residuo quadratico si vedono modulo 8... quindi io vedrei modulo 8. Comunque sto problema è tecnica pura, blah!